betinget og abs konvagens

Det hedder konvergent på dansk.

En række ∑ a_n er absolut konvergent, hvis rækken ∑ |a_n| er konvergent.

Sammenligningskriteriet benyttes til undersøgelse for absolut konvergens ved at sammenligne med en kendt konvergent række med positive led.

kan man altid bruge kvotientkriteriet til at vise absolut konvergens?

#2

Ja, kvotientkriteriet siger jo netop at hvis der findes et tal  K≥0 så  

    |a_n+1 / a_n| → K for n → ∞

så gælder at hvis K < 1 så er rækken Σa_n absolut konverget, og hvis K > 1 er rækken divergent.

Edit:

Havde ikke lige set du skrev altid.

Nej, man kan ikke altid bruge kvotientkriteriet. F.eks. hvis K=1 så siger kvotientkriteriet ikke noget.

Ja præcis har lige lavet en opgave hvor jeg fik at k=1.

men så er det her jeg har et problem.

rækken som jeg undersøger har a_n= 1/(n^2+3)

og vi ved at 1/n^2 er kovergent. hvis vi så sammenligner de to så får vi at 1/(n^2+3)<1/n^2 og så er rækken jeg undersøger konvergent.

men hvordan finder jeg ud af om den er abs eller betinget konvergent?  det er her jeg går i stå

#4

Rækkens led er jo alle positive, så derfor er den absolut konvergent.

nååååårh er det sådan man undersøger det. 

hvad  hvis den har negative led? så undersøger jeg om den kan være større end 1/n^2?

#6

Genlæs definitionen for absolut konvergens i #1.

kan jeg godt sammenligne rækkerne 1/(n+13) og 1/n^2, ved brug af sammenligningskriteriet?

#8

Ikke til noget brugbart. Fra et vist n er n+13 < n² for alle n der følger efter, dvs. 1/(n+13) > 1/n² , og det kan man ikke bruge til noget.

jeg har siddet med den vedlagte opgave siden igår. Jeg kan se at det er alternerende række og at den er konvergent. Men jeg kan ikke se hvad jeg kan sammenligne den med  for at undersøge om den er absolut konvergent.

#10

Det er jo vigtigt at gøre klart, at der var tale om en alternerende række. Blandt alternerende rækker finder man klassiske eksempler på rækker, der er konvergente, men ikke absolut konvergente, og man kan ikke altid benytte sammenligningskriteriet på sådanne rækker.

Her drejer det sig om rækken  ∑^∞_n=0 (-1)ⁿ/(n+13) , som jo blot er den alternerende harmoniske række med de første 12 led udeladt. Da {1/(n+13)} er en dalende talfølge af positive tal, der konvergerer mod 0, er denne række konvergent, men ikke absolut konvergent.

er der andre kriterier jeg kan bruge, til at vise at absolutværdien er divergent?

#12

Man kan benytte udsnitskriteriet for den harmoniske række.

#12 ækvivalentskriteriet (rækken ∑1/(n+13) er ækvivalent med ∑1/n) eller integralkriteriet kan også bruges