Matematik
karakteristisk ligning
Hvis man løser den karakteristiske ligning for en andenordens differentialligning og finder, at den har komplekse rødder er de konjugerede af hinanden, dvs. man får en generel løsning:
y = e^ax (Ae^(ibx)+Be^(-ibx))
Hvis man så sætter A og B til være hinandens kompleks konjugerede finder man at y bliver reel (check selv efter). Men mit spørgsmål til denne fremgangsmåde (som benyttes af min bog) er: Hvordan kan man være sikker på, at dette konsturerer alle mulige reelle løsninger?
Svar #1
20. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Hvis den generelle løsning
y = A·eax·(cos(bx) + i·sin(bx)) + B·eax·(cos(bx) - i·sin(bx))
skal være en reel funktion, skal der gælde, at
A+B er reel, og at A-B er imaginær, hvilket aflæses direkte af løsningsformlen. Sætter vi
A = A1 + iA2 , og B = B1 + iB2, (hvor A1, A2, B1, B2 er reelle),
skal der altså gælde, at
A2 + B2 = 0, og A1 - B1 = 0 ,
eller med andre ord, at B = A , dvs at A og B skal være hinandens kompleks konjugerede.
Hvis på den anden side A og B er hinandens kompleks konjugerede, ses det let, at løsningsfunktionen y så er en reel funktion.
Skriv et svar til: karakteristisk ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.