svingningstid

Bevægelsesligningen for en dæmpet svingning er

m*x''(t) = -k*x(t) - μ*x'(t)

med løsningen

x(t) = a*e^-μt/2m*cos(ωt)

hvor ω = √(k/m - μ²/(4m²))

Det er vel ikke så meget ω du skal se på, men derimod dæmpningsfaktoren exp(-μt/2m). Det er bare mit gæt, for jeg kender ikke opgavens præcise formulering.

med løsningen

                    x(t) = A*e^-(μ/(2m))t*cos(ωt + φ)

                               hvor ω = √((k/m) - μ²/(4m²))

#1 og #2:

Og heraf fås:   T = 2π/ω = 2π/√((k/m) - μ²/(4m²)) = 2π√(m/k) * 1/√(1 - μ²/(4mk))

altså en udæmpet svingning gange en faktor, der virker forøgende på svingningstiden. Nærmer μ² sig 4mk vokser T over alle grænser og man får en aperiodisk svingning. Men under alle omstændigheder er svingningerne isokrone.

heraf fås:

                      udæmpet
                                                     4π•m   
                                            T =  ---------      
                                                   √(4km)                 

                      dæmpet
                                                          4π•m   
                                            T ' =  --------------     
                                                     √(4km - c²)         

hvoraf
                                            T ' > T