Vektorene

Hvad skal du have hjælp med her?

Vis at sættet (a1 , a2 , a3 , a4) er lineært uafhængigt, og at vektorerne er parvis ortogonale.

#1

Tak for svaret, opgave a er lavet. Hvordan redegør jeg for opgave b? Altså, hvordan viser jeg

f(λx) = λf(x) og f(x + y) = f(x + y) ?

Jeg har prøvet at definere f(x) = (x•a₁)a₂ + (x•a₂)a₃ + (x•a₃)a₄ på Mape, og der dukkede så mærkelige ting op, som vist her:

Hvad mener du med det?

Du skal blot sætte ind i funktionsudtrykkey

f(x+y) = ((x+y)·a₁)a₂+ ^.....

og bruge reglerne for vektorregning på det.

Den anden del vises på tilsvarende måde.

Du kan også samle det hele under en hat ved at beregne f(k₁x+k₂y) = ^....

#3

OK, tak. Har skrevet det i hånden og vist, at den er lineær. 

Kan I hjælpe mig med c?

#4

Med hensyn til basen (a₁,a₂,a₃,a₄) har man

f(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁a₂ + x₂a₃ + x₃a₄

#5

Hmm altså, man har en funktion ifølge opgavesættet, 

f(x) = (x•a₁)a₂ + (x•a₂)a₃ + (x•a₃)a₄

så beskriver en funktion mht. den nævnte base, og givet den som du har beskrevet i #5? Er de skalarprodukter blevet forsvundet eller hvad? Betyder det ellers så, at Matricen A = (a₁  a₂  a₃  a₄)? Hvad med B = ?

#6

Skalarprodukterne er da ikke forsvundet, men udregnet. At vektoren x har koordinatsættet (x₁,x₂,x₃,x₄) efter basen (a₁,a₂,a₃,a₄) betyder jo, at

x = x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ + x₄a₄ ,

og dermed, at

x•a₁ = x₁ , osv. . Egentlig skal det vist være

x•a₁ = x₁|a₁|² = 4x₁, da basen ikke er normeret, hvorfor det må være

f(x₁,x₂,x₃,x₄) = 4x₁a₂ + 4x₂a₃ + 4x₃a₄

#7

Ok, så er jeg lidt med på det. Jeg går ud fra, at

f(x) = (x•a₁)a₂ + (x•a₂)a₃ + (x•a₃)a₄

, hvor x = (x₁, x₂, ..., x₄) = (0, x•a₁, ..., x•a₃)   er det korrekt?

Hvis det ikke er korrekt, forstår jeg desværre ikke din forklaring om denne basse ikke er normeret, som jeg ikke rigtigt kan komme i tanke om, hvordan man kan vide/finde ud af det. Jeg har udtrykket det anderledes, at det skal stå rækkefølge, fordi

f(x) = x₁a₁ + ... + x_na_n  , så kan jeg se i dette tilfælde, at x₁ må være lig med nul. Altså

f(x) = 0 + x₂a₂ + x₃a₃ + x₄a₄

Hvis jeg tager fejl, venligst forklar mig det. 

PS: Hvorfor har du valgt bogstavet f med tyk skrift?

Nej, det er ikke korrekt, at

x = (x₁, x₂, ..., x₄) = (0, x•a₁, ..., x•a₃)

At en vektor x har koordinaterne (x₁,x₂,x₃,x₄) med hensyn til en ortogonal basis (a₁,a₂,a₃,a₄) betyder, at

x = x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ + x₄a₄

som jeg skrev i #7. Man har så

x•a₁ = x₁·|a₁|² = 4x₁ , x•a₂ = 4x₂ , og x•a₃ = 4x₃ , hvorfor

f(x) = (x•a₁)a₂ + (x•a₂)a₃ + (x•a₃)a₄ = 4x₁a₂ + 4x₂a₃ + 4x₃a₄

#9

Hmm.. OK, hvis man har

f(x) = 4x₁a₂ + 4x₂a₃ + 4x₃a₄, kan jeg kun se, at a₁ og x₄ ikke er med i dette udtryk. Hvad kan man sige om det, eller er det unødvendigt at spekulere over det? Jeg opstiller en matrix A:

A = (0  4   4   4

       0 -4  4   -4 

       0  4  -4  -4 

       0 -4  -4   4)

Er det rigtigt opstillet?

#10

Nej, det er ikke korrekt. En vektor x med korodinatsættet (x₁,x₂,x₃,x₄) afbildes jo i en vektor med koordinatsættet

(0,4x₁,4x₂,4x₃), så afbildningsmatricen med hensyn til denne basis (a₁,a₂,a₃,a₄) er da

A = (0 0 0 0
        4 0 0 0
        0 4 0 0
        0 0 4 0)

#11

Oh damn -.-' .. Sad lige og læste dit svar i #11 i lang tid og forstod ikke en pind hvordan du fandt ud af det. Men så var jeg ude og spiste noget mad for at slappe min hjerne lidt af. Da jeg kom tilbage og genlæste dit svar, forstod jeg det lol. Tak for svaret. Men er det nødvendigt at reducere denne matrix, eller skal det lades stå? Hvis jeg reducerer den videre, får jeg

A = (1 0 0 0

        0 1 0 0

        0 0 1 0

        0 0 0 0)

hvilket betyder, at det også afbildes i en vektor med koordinatsættet (x₁, x₂, x₃, 0) mht den samme basis. (Lyder det forkert?)

Kan du hjælpe mig med at forstå den samme opgave, hvor man skal bestemme en matrix B?

#12

Du kan da ikke lave om på matricen A , som du gør. Den er, som den er i #11.

Man skal så lave en transformation svarende til overgangen fra basen (a₁,a₂,a₃,a₄) til den kanoniske basis (e₁,e₂,e₃,e₄) . benyt, at man kender koordinaterne for basisvektorerne (a₁,a₂,a₃,a₄) med hensyn til basen (e₁,e₂,e₃,e₄) .

#13

Vil det sige, at

x = 0e₁ + 4x₁e₂ + 4x₂e₃ + 4x₃e₄ ?

#14

Hvad mener du med det? x er en generel vektor. Vi satte den til x = (x₁,x₂,x₃,x₄) med hensyn til basen (a₁,a₂,a₃,a₄) .

#15

Jeg prøver at lave den samme rækkefølge/fremgangsmåde, som du havde gennemgået i #9. Jeg ville starte med en vektor inden jeg farer vild. Altså, så forstår jeg ikke rigtigt denne del: "benyt, at man kender koordinaterne for basisvektorerne (a₁,a₂,a₃,a₄) med hensyn til basen (e₁,e₂,e₃,e₄) ."

#16

Det drejer sig om at finde billedet f(x) af en vektor x , og det billede er kendt, når vektoren x og billedet f(x) er beskrevet i basen (a₁,a₂,a₃,a₄) . Så man skal benytte, at man kender koordinaterne for basisvektorerne (a₁,a₂,a₃,a₄) med hensyn til basen (e₁,e₂,e₃,e₄) til at transformere hele herligheden til basen (e₁,e₂,e₃,e₄) .

#17

Jeg vil ikke prøve at være irriterende.Jeg aner ingenting, hvad du prøver at forklare. Jeg er glad for, at du har forsøgt at hjælpe mig det her igennem i lang tid. Kan du give mig et link eller noget, jeg kan komme igang med det her? Hvordan kender man koordinaterne for basisvektorene (a₁,a₂,a₃,a₄)? Hvordan transformerer jeg det til det andet?

#18

Når man skifter basis, skifter matricen A for den lineære afbildning f til

B = S·A·S^-1

hvor S repræsenterer transformationsmatricen mellem de to baser.

#18

Det ser ud som, at man vælger en vilkårlig matrix S, så vil der være lige lange på hver sider, altså

B·S = A·S ⇒ B = S·A·S^-1 = A·E , for S·S^-1 = E (enhedsmatricen).

Kan man så ikke slutte med at sige, B = A·E = ... ?