Side 2 - Vektorene

Neh Matrixproduktet er ikke kommutativ så S*A ≠ A*S

OK. Tak for hjælpen allesammen.

#22

Når man skal finde matricen B for den lineære funktion f med hensyn til den kanoniske basis (e₁,e₂,e₃,e₄) , benytter man, at man kender basisvektorerne (a₁,a₂,a₃,a₄) udtrykt ved (e₁,e₂,e₃,e₄), idet man har

a₁ = e₁ + e₂ + e₃ + e₄
a₂ = e₁ - e₂ + e₃ - e₄
a₃ = e₁ + e₂ - e₃ - e₄
a₄ = e₁ - e₂ - e₃ + e₄

Denne sammenhæng er udtrykt ved matricen

S = [ 1  1  1  1
         1 -1  1 -1
         1  1 -1 -1
         1 -1 -1  1 ]

Den inverse matrix S^-1 giver basisvektorerne (e₁,e₂,e₃,e₄) udtrykt ved ved (a₁,a₂,a₃,a₄) . Man ser, at matricen S er symmetrisk, og da søjlerne i S består af koordinaterne for de fire ortogonale vektorer (a₁,a₂,a₃,a₄) , er det let at se, at S^-1 = (1/4)·S .

For at finde matricen B for afbildningen f med hensyn til basen (e₁,e₂,e₃,e₄) , skal vi altså finde billedet

f(x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ + x₄e₄) udtrykt ved basisvektorerne (e₁,e₂,e₃,e₄) . Det svarer i alt til at beregne matricen

B = S·A·S^-1 ,

der udregnes til

B = [ 3  1  1 -1
        -1 -3  1 -1
        -1  1  1  3
         1  1 -3 -1 ]

En anden mulighed er at finde billederne af e₁, e₂, e₃ og e₄ ved afbildningen udtrykt ved disse basisvektorer Matricens søjler er de samme som billedet af disse enhedsvektorer