Vektorrum

Hvad skal du have hjælp med her? Benyt definitionen for et vektorrum og følg vejledningen i opgaven.

Ad (b) uden Maple. Se vedlagte pdf-fil som indeholder beregninger for dette delspørgsmål.

Undrer mig lidt over, hvordan jeg i b) kan konkludere, at V er en ortogonal basis for S₄ efter. Her mener jeg altså efter jeg har sluttet, at V er en ortogonal basis, ud fra skalarprodukterne giver 0, sådan at det er et ortogonalsæt, som er i et indre produkt vektorrum. Altså jeg kan slutte det er en ortogonal basis, men er V så uden videre ortogonal basis for S₄?

#1

Jeg ser her, at f(x) = ∑³_i=0 a_ncos(nx), mener jeg helt klart, at det er et vektorrum, idet betingelserne for definitionen af vektorrum er opfyldt. Men hvordan skal underrum forstås hvis definitionen lyder:

"En ikke-tom delmængde U ⊆ V kaldes for et underrum hvis følgende to betingelserne er opfyldt

U1: Hvis x ∈ U og λ ∈ F gælder λx ∈ U.

U2: Hvis x,y ∈ U gælder x + y ∈ U."

Der er sandsynligvis nogle beviser og definitioner, som er nævnt i det foregående til opgaven men ikke er i selve opgaven.

#3 De 4 vektorer er ortogonale ikke 0 vektorer og enhver vektor kan skrives som en linearkombination af de 4 vektorer, så de 4 vektorer er basisvektorer i vektorrummet. Det fremgår sikkert også af det foregående til opgaven at det er et 4 dimensionalt vektorrum, hvoraf også kan udledes at det er basisvektorer.

#4 I det foregående er der formodentlig defineret generelt et vektorrum for ethvert N. Det i opgaven nævnte vektorrum vil være underrum i ethvert vektorrum, hvor N > 4

Der står i opgave c, at man skal vise s₁•s₂ = (π/2)( v[s₁]•v[s₂] ).

Jeg er i tvivl om hvordan man skal svare på. Jeg kender hverken s₁ og s₂, men jeg er sikker på, at det har med den nedenstårende formel at gøre. 

s₁•s₂ = ₀∫^π s₁(x)s₂(x) dx

Hvis jeg kigger alene på "v[s₁]•v[s₂]" , kan jeg se, at 

v[s₁] ≠ v[s₂], som ifølge opgavesættet, at v_i•v_j = 0, hvis i ≠ j.

Derfor mener jeg, at v[s₁]•v[s₂] = 0, så er

s₁•s₂ = (π/2)( v[s₁]•v[s₂] )= 0. Her kan man se, at de vektorer er parvise ortogonale, hvoraf (π/2) blot er en forlængelse. (eller lyder det forkert?). Hvad mener I om det?

Og hvis jeg igen antager, at 

v[s₁]•v[s₂] = π/2, hvis v[s₁] = v[s₂], som v_i•v_j = π/2, hvis i = j. Derfor har vi

s₁•s₂ = (π/2)². Hvis s₁ = s₂, så s₁•s₂ = s₁•s₁ = |s₁|²

Hermed ses der, at |s₁| = |s₂| = π/2.

Men jeg har jo nu ikke "vist" noget som helst. Hvad og hvordan gør jeg så?

Man har for en vilkårlig vektor s i S₄, at

s = s₀v₀ + s₁v₁ + s₂v₂ + s₃v₃ ,

hvor (v₀, v₁, v₂, v₃) er den ortogonale basis for S₄ .

For to vektorer s₁ og s₂ haves da

s₁ = s₁₀v₀ + s₁₁v₁ + s₁₂v₂ + s₁₃v₃ og

s₂ = s₂₀v₀ + s₂₁v₁ + s₂₂v₂ + s₂₃v₃

og dermed

s₁•s₂ = (π/2)·(s₁₀·s₂₀ + s₁₁·s₂₁ + s₁₂·s₂₂ + s₁₃·s₂₃)

Det er det sidste udtryk (s₁₀·s₂₀ + s₁₁·s₂₁ + s₁₂·s₂₂ + s₁₃·s₂₃) der åbenbart kaldes for skalarproduktet af koordinatvektorerne (s₁₀,s₁₁,s₁₂,s₁₃) og (s₂₀,s₂₁,s₂₂,s₂₃) .

Det man bl.a. skal tage med sig fra denne opgave er, at der kun gælder

s₁•s₂ = 1·(s₁₀·s₂₀ + s₁₁·s₂₁ + s₁₂·s₂₂ + s₁₃·s₂₃)

hvis (s₁₀,s₁₁,s₁₂,s₁₃) og (s₂₀,s₂₁,s₂₂,s₂₃) er koordinatsættene med hensyn til en ortonormal basis.

#9

Tak!!! Men hvordan kommer (π/2) ud af det? 

#11

Det kommer jo af det (tidligere) viste resultat, at

v_i • v_j = π/2 (hvis i = j) , 
           = 0   (ellers)

Udregner man s₁•s₂ med s₁ = s₁₀v₀ + s₁₁v₁ + s₁₂v₂ + s₁₃v₃ og s₂ = s₂₀v₀ + s₂₁v₁ + s₂₂v₂ + s₂₃v₃ , får man i alt 16 led i skalarproduktet, men kun de fire af dem er i almindelighed forskellige fra 0, da basisvektorerne er ortogonale. Der kommer så en faktor (π/2) på hvert led fra produkterne v_i • v_j , hvor i = j, i = 0,1,2,3 , fordi basisvektorerne ikke er ortonormale.

#12

Ja, du har helt ret. Dejligt! Kan du prøve forklare mig til den sidste opgave, altså uddybe dette spørgsmål, for jeg ikke forstår, hvordan jeg kan vise D er lineær.

#13

At afbildningen D(u)(x) = u''(x) er lineær følger jo af, at differentialoperatoren er lineær:

(a·f(x) + b·g(x))'' = a·f''(x) + b·g''(x) .

Enhver funktion i S₄ afbildes i sin 2. afledede.

Bestem dernæst billedet af hver af basisvektorerne (v₀, v₁, v₂, v₃) ved afbildningen D.

Kan ikke rigtig følge det. Er det fordi D er afbildedet i S₄ at D(u)(x)=u''(x) må være en lineær afbildning?

Hvordan kan billedet da etableres for matrixrepræsentationen D med hensyn til V

#15

Nej. D er lineær, fordi differentialoperatoren (...)' og dermed også (....)'' er lineær. Den 2. afledede af en linearkombination af differentiable funktioner er lig med linearkombinationen af de 2. afledede:

(a·f(x) + b·g(x))'' = a·f''(x) + b·g''(x)

Det gælder helt generelt for alle differentiable funktioner. Og da der for hver af basisvektorerne v_i gælder, at

D(v_i) = λ_iv_i , hvor  λ_i er en skalar, er D en lineær afbildning i S₄ .

som jeg forstår dig, så er D lineær fordi vi ved D(u)(x)=u''(x), altså fordi D kan differentieres.

#17

Det er ikke D, der kan differentieres. D er en afbildning, der afbilder en vektor i sin 2. afledede, og fordi differentialoperatoren er lineær, er D derfor lineær. Afbildningen D er defineret ved

D: u(x) → u''(x) .

Menes der

u(x) = a₀ + a₁cos(x) + a₂cos(2x) + a₃cos(3x)

så vi skal finde u''(x) og så konkludere, at D er en lineær afbilding, som opgaven beder om at vise?

#19

Enhver vektor i S₄ er en funktion af formen

u(x) = a₀ + a₁cos(x) + a₂cos(2x) + a₃cos(3x)

At afbildningen D er lineær skyldes, at differentialoperatoren (...)' er lineær.

At D er en afbildning i S₄ er forklaret i sidste afsnit i #16. Differentierer man cos(nx) to gange får man en konstant gange cos(nx).