Matematik
differentialregning
jeg har et spørgsmål til en opgave om differentialregning
opgaven lyder:
man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode på 3 måneder.
det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning
(dSt / dt) = (K * St * (Smax - St) / Smax)
hvor St er længden (cm) til tiden t (døgn), Smax (cm) er den øvre grænse for længden, af en løgfrøhaletudse, og K er en konstant
for et af de undersøgte vandhuller er K = 0,069 og Smax = 12. desuden oplyses, at startlængden S0 = 0,5.
a) hvordan bestemmes, ud fra de givne oplysninger løsningen til differentialligningen for det betragtede vandhul, og samt beregning af løgfrøhaletudsens længde, når den er 20 døgn gammel, ?
b) hvordan bestemes en løgfrøhaletudses alder fra det pågældende vandhul, når den vokser hurtugt, ?
Svar #1
31. december 2012 af Andersen11 (Slettet)
Bemærk, at differentialligningen er den logistiske differentialligning, for hvilken der findes en færdig løsningsformel.
Begyndelsesbetingelserne benyttes til at fastlægge konstanterne. Benyt løsningen til at beregne St(20) .
b) Hvis der menes alderen, når den vokser hurtigst, skal man finde maksimum for dSt/dt .
Svar #2
04. januar 2013 af avengers (Slettet)
i opgave a)
er jeg nået frem til at S(5) har den logitiske differentialligning
(0,069 * 0,5 * (12-0,5) ) / 12 = 0,40/12
er dette svar rigtigt, ?
Svar #3
04. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#2
S(5) er bare et tal, der ikke har nogen differentialligning. Man skal først løse den logistiske differentialligning
S'(t) = 0,069·S(t)·(12 - S(t))/12 med begyndelsesbetingelsen S(0) = 0,5 , dvs.
S'(t) = 0,00575·S(t)·(12 - S(t)) , med S(0) = 0,5 .
Opskriv løsningsfunktionen og beregn så S(20) .
Svar #6
05. januar 2013 af avengers (Slettet)
godt så,
jeg er nået frem til løsningen
S (t) = 12 12
---------------------- = -------------------
1+C*e0,00575*12*t 1+C*e0,069*t
er dette den rigtige løsning til ligningen, ?
Svar #7
05. januar 2013 af avengers (Slettet)
ikke for noget, er der nogen til stede, ?
jeg har ikke fået et svar til #6,
Svar #8
05. januar 2013 af mathon
med
S(0) = 0,5
1+C*e0,069•0 = 12/0,5 = 24
1 + C = 24
C = 23
hvoraf
12
S(t) = ----------------
1+23•e0,069•t
Svar #9
05. januar 2013 af avengers (Slettet)
et andet spørgsmål
hvis 0,069 skal divideres med 12,
hvorfor skal 0,069 stå i potens i stedet for 0,00575, ?
Svar #10
05. januar 2013 af mathon
fordi løsningen til
differentialligningen
dy/dx = a•y•(M-y)
er
M
y = ----------------
1+C•e-a•M•x
Svar #11
05. januar 2013 af avengers (Slettet)
tak,
et andet spørgsmål
skal jeg benytte den samme metode til opgaven om "funktion af udviklingen af population"
til at finde maksimum af t, ?
Svar #12
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#11
Hvis du tænker på som. b), skal man her bestemme tidspunktet hvor en løgfrø vokser hurtigst. Man skal bestemme tidspunktet, hvor dS/dt har maksimum.
Af differentialligningen
dS/dt = 0,00575·S(t)·(12 - S(t))
ser man, ar dS/dt er et 2.-gradspolynomium i S, hvis graf er en parabel, der vender grenene nedad. Det har derfor maksimum i toppunktet, dvs toppunktet for parabelen -S2 + 12S, dvs for S = 6 . Man finder derfor det pågældende tidspunkt ved at løse ligningen
S(t) = 6, dvs
12/(1 + 23·e-0,069t) = 6 , hvoraf
1 + 23·e-0,069t = 12/6 = 2 , og dermed
e-0,069t = 1/23 , eller
t = ln(23) / 0,069 ≈ 45,4
Skriv et svar til: differentialregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.