integrabilitet af eksponentialfunktioner.

Prøv at differentiere funktionerne e^kx og a^x = e^x·ln(a) . Deraf vil man kunne finde stamfunktioner til e^kx og a^x .

Det har jeg gjort, hvad er næste skridt så ?

#2

Af (e^kx)' = k·e^kx , ser man jo, at

((1/k²)·e^kx)' = (1/k)·e^kx ,

hvoraf man aflæser en stamfunktion for (1/k)·e^kx .

men hvor kommer 1/k^2 fra ?

#4

Det kommer ved at dividere ligningen

(e^kx)' = k·e^kx

med k² på hver side.

hvilken regl bruger man til at komme frem til det , er det så ved hjælp af integrationsprøven?

#5

Du må have lært, at

(e^kx)' = k·e^kx .

Deraf følger så, at

(1/k²)·(e^kx)' = (1/k)·e^kx ,

og dermed

((1/k²)·e^kx)' = (1/k)·e^kx .

Heraf ses, at (1/k²)·e^kx er en stamfunktion til (1/k)·e^kx .

Der gælder, at F(x) er en stamfunktion til f(x) , hvis og kun hvis F'(x) = f(x) .

Hvad så med den næste, kan du hjælpe mig med den ?

#8

Den burde du selv kunne finde ud af nu ved at benytte vinket i #1.

nej, for jeg forstår det ikke.. 

Vi ved at a^x også kan skrives som e^xlna.

dvs (a^x)'=(e^xlna)'=a^x·lna,

men hvad så ?

#10

Da a^x = e^x·ln(a) , har funktionen a^x/ln(a) jo samme form som e^kx/k med k = ln(a) , så du burde være i stand til at besvare dette spørgsmål uden yderligere beregninger.

altså divideres der med lna² på begge sider ?

#12

Sæt k = ln(a) i resultatet fra den første opgave.

jeg forstår det bare ikke godt nok til at formulere det med ord selv. 

altså (a^x)'=(e^xlna)'=a^x·lna

Der ses nu samme form som ved (e^kx)'. Dermed får vi at lna=k.

Hvis vi nu indsætter lna på k's plads  i resultatet af ((1/k²)·e^kx)'=(1/k)·e^kx, får vi:

(1/lna)·e^lna·x .

Da e^xlna=a^x, får jeg:

(a^x)^'=a^x/lna 

#14

Det er ikke korrekt, at

(a^x)' =a^x/ln(a) .

Man har a^x = e^x·ln(a) , hvorfor (a^x)' = ln(a)·e^x·ln(a) = ln(a)·a^x , og dermed

((1/(ln(a))²)·a^x)' = a^x/ln(a) ,

hvoraf man ser, at (1/(ln(a))²)·a^x er en stamfunktion til a^x/ln(a), hvilket også ses dirtekte af det fundne resultat for stamfunktionen til e^kx/k ved at sætte k = ln(a).

okay, nu er jeg med .. 

Hvad så med for logeritmefunktionen ln x:

Vi ved at (lnx)'=1/x+k

Jeganvender integrationsprøven: (f(x)dx)'=f(x) til at bevise dette.

Da det er en sumpunktion differenterer jeg de to led hver for sig.

(lnx+c)'=(lnx)'+(c)'

(c)'=0

(lnx)'=1/x

Dermed får vi altså:

(lnx+c)'=(lnx)'+(c)'=1/x+0=1/x

#16

Nej, der gælder, at (ln(x))' = 1/x . Hvad går din opgave ud på? Skal du bestemme en stamfunktion til ln(x) ?

Altså man skal bestemme ∫ ln(x) dx      ? Prøv at benytte partiel integration i stedet.

Redegør for differentiabilitet og integrabilitet af de naturlige logaritmer og eksponentialfunktioner.

#18

Det er sikkert vist i din bog, at ln(x) og e^x er differentiable. Hvordan det gøres afhænger af, hvordan funktionerne er defineret i pensum, men man benytter tretrinsreglen i beviset.

At funktionerne er integrable følger af, at de er kontinuerte.

Jeg har set i vores bog(uden held), og var desværre ikke til undervisning den dag det blev gennemgået:

Derfor slår jeg et opslag op her, for at få hjælp:

Jeg har differentieret og fået:

y=lnx, y'=1/x

1. trin: Delta Y=ln(x0+h)-ln(x0)

2. trin: Delta Y/h=(ln(x0+h)-ln(x0))/h <=>

Delta Y/h=(lnx0(ln(h)-ln(x0)))/h <=>

Delta Y/h=(lnx0(ln(h)-1))/h

3. trin: DeltaY/h --> ln(x0)(ln(h)-1)/h =lnx0*1=lnx0 for h gående mod 0