Matematik
ligning
jeg har et spørgsmål til en opgave
opgaven lyder,
i en model for hvordan en bestemt population udvikler sig i tidens løb, antages det, at populationens væksthastighed er proportional med populationens størrelse,
tiden t måles i døgn, og proportionalitetskonstanten er 0,084,
det antages at der til at begynde med er 10 individer i populationen,
1. hvordan opkrives en differentialligning, der beskriver populationens udvikling, ?
2. hvordan bestemmes ved hjælp af modellen antallet af individer efter 7 døgn, ?
Svar #1
02. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Hvis man kalder populationens størrelse som funktion af tiden for y(t) , er væksthastigheden da y'(t) . Det oplyses, at væksthastigheden y'(t) er proportional med y(t) med porportionalitetskonstant 0,084 . Prøv at udtrykke dette i en ligning.
Svar #2
03. januar 2013 af PeterValberg
En sådan differentialligning skal følge modellen:
som har den fuldstændige løsning:
hvor c er en konstant, du kan bestemme vha. oplysningen y(0)=10
Svar #3
06. januar 2013 af avengers (Slettet)
godt såvel,
når jeg sætter y (t) ind, så kommer y´(t) til at lyde
y ´(t) = k * c * ekx
Svar #4
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#3
Hvis man omsætter svaret i #1 til en ligning, kommer denne til at lyde
y'(t) = 0,084·y(t) , med y(0) = 10 .
Løs nu denne differentialligning og benyt begyndelsesbetingelsen til at bestemme integrationskonstanten. benyt så modellen til at beregne y(7) .
Svar #5
06. januar 2013 af avengers (Slettet)
hvis y (0) = 10 svarer til c * ekx
kan y ´(t) således også være
y ´(t) = k * 10,
Svar #7
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#5, #6
Du roder differentialligningen sammen med begyndelsesbetingelsen.
Differentialligningen
y'(t) = 0,084·y(t)
har den fuldstændige løsning
y(t) = c·e0,084t ,
og man benytter så begyndelsesbetingelsen y(0) = 10 til at fastlægge konstanten c.
y(0) = c·e0 = c = 10 .
Svar #9
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#8
Nej, det er jo løsningen på differentialligningen med den angivne begyndelsesbetingelse
y(t) = 10 · e0,084t .
Ved differentiation, eller ved at benytte differentialligningen, har man, at
y'(t) = 0,084·y(t) = 0,84·e0,084t
Svar #10
06. januar 2013 af avengers (Slettet)
godt så,
hvis jeg indsætter 7 ind i t, bliver y ´(t) til
y ´(t) = 0,84 * e0,588,
Svar #11
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#10
Jo, det er da korrekt, men du skal beregne y(7) ved hjælp af modellen.
Svar #13
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#12
Modellen er givet ved funktionen y(t). Man skal beregne y(7), ikke y'(7).
Svar #14
06. januar 2013 af avengers (Slettet)
hvis jeg beregner y(7) får jeg
y (7) = 10 * e0,069*7 = 10 * e0,588
når jeg derefter sætter den ind i y ´(t) får jeg
y ´(t) = 0,084 * y(7) = 0,84 * e0,588,
h vad mangler jeg,?
Svar #15
06. januar 2013 af Andersen11 (Slettet)
#14
Der skal ikke sættes ind i noget med y'(t) . Man skal beregne y(7) ved at sætte t = 7 i den færdige forskrift
y(t) = 10 · e0,084t
Jeg ved ikke, hvor du får de 0,069 fra (måske fra en helt anden opgave?).
Man får så
y(7) = 10·e0,084·7 = 10·e0,588
og det skal så regnes færdigt (et par klik på lommeregneren).
Skriv et svar til: ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.