Røringspunkt for tangenter (cirkler)

hjælp ? :(

hjææææææææææææælp

a)  Cirklens ligning: ( x - x₀ )² + ( y - y₀ )² = r².

Så du har en cirkel med radius = 10, og centrum i  ( 3 ; -6 ).

Sæt nu m-ligningen på formen:  y = ax + b. Tangenten må stå vinkelret på radius, og radius må derfor have hældningen:  1/a.  Beregn nu radiens to berøringspunkter  med cirklen vha. arctan, cos og sin.

#0: PS:  Du skal lig flytte cirklens centrum til ( 0 ; 0 ) under mellemregninger.

Flyt så centrum og cirkel og berøringspunkter tilbage igen.

( x - x₀ )² + ( y - y₀ )² = r²

Hvis jeg skal sætte m-ligningen på formen af en ret linie så bliver det: 

y = 6x + 8y + 250 ? 

Hov mente : 

y = 6x * 8y + 250

Nej:

6x + 8y + 250 = 0

8y = -6x -250

y =  -6/8x - 250/8

Tangenthældning = -6/8   ⇒ Radiernes hældning =  8/6

hvordan går man så videre derfra ? 

Dvs. min c- ligning står på formen af cirklens ligning, også skal jeg skrive min m-ligning på formen af en ret linie 

6x + 8y + 250 = 0

8y = -6x -250

y =  -6/8x - 250/8 

Hvordan går du radiernes hælding til at være 8/6 ? 

Du har en cirkel med radius = 10, der er flyttet til centrum = ( 0 ; 0 ) og med en radiushældning = 8/6.

Radius danner derfor en vinkel med x-aksen:  v = arctan( 8/6 ).

Find nu berøringspunktet som: ( 10*cos( v ) ; 10*sin( v ) ).

Flyt så centrum, cirkel og berøringspunkter tilbage til det oprindelige centrum  ( adder ( 3 ; -6 ) )

#8: Hvis en linie har hældningen a, så har en linie vinkelret på denne en hældning = -1/a.

undskyld men jeg forstår det virkelig ikke :/ hvordan skal det regnes ud ? 

kan du skrive det ? så kan jeg selv prøve at lave b) også skriver jeg b ind, så kan du se om jeg har forstået det ? 

Tangenthældning = a = -6/8.

Radiehældning = -1/a = -1/( -6/8 ) = 8/6

v = arctan( 8/6 ) = 53,13º

Da radius i cirklen = 10, findes berøringkoordinater ved:

x_f = 10*cos( 53,13º ) = 6    ( x_f  = x_flyttet )

y_f = 10*sin( 53,13º ) = 8

Du flytter nu cirklens centrum tilbage til den oprindelige position ved at addere ( 3 ; -6 ):

( x ; y ) = ( x_f ; y_f ) + ( 3 ; -6 ) = ( 9 ; 2 )

Find nu det andet berøringspunkt for enden af den anden radian ( drejet 180º ) med hældning 8/6.

Du må forklare hvad du ikke forstår. Prøv at tegne cirkel, tangenter, radier skitseret. Det hjælper på forståelsen.

Her er en alternativ fremgangsmåde.

a) c: (x - 3)² + ( y + 6)² = 100 og m: 6x + 8y + 250 = 0 

En tangent parallel med den givne linie m har en ligning af formen

6x + 8y + d = 0 .

Afstanden fra cirklens centrum C(3 , -6) til en tangent skal være lig med cirklens radius r = 10 . Beregner vi afstanden fra cirklens centrum til en sådan linie har vi

dist(C, linie) = |6·3 + 8·(-6) + d|/√(6² + 8²) = 10 ,

dvs. der skal gælde

|18 -48 + d| = 10·10 = 100 , altså

|d -30| = 100,

der har de to løsninger d = 130 ∨ d = -70 . De to tangenters ligninger er derfor

6x + 8y + 130 = 0    og    6x + 8y -70 = 0 , der kan forkortes til

3x + 4y + 65 = 0    og     3x + 4y -35 = 0 .

Den samme fremgangsmåde kan benyttes til opgave b).

Svaret i #13 giver ikke svaret på opgavens spørgsmål, der drejer sig om koordinaterne for tangenternes røringspunkter med cirklen.

Den givne linie m har ligningen 6x + 8y + 250 = 0 . Vektoren n = [6 , 8] er derfor en normalvektor til de to tangenter. Man benytter nu, at cirklens radius i røringspunktet står vinkelret på tangenten.

Kaldes cirklens centrum for C(3 , -6) , er en stedvektor til de to røringspunkters koordinater da

OP = OC ± r·n/|n| = OC ± n .

Røringspunkterne har da koordinaterne

P₁ = (3 , -6) + (6 , 8) = (9 , 2) , og

P₂ = (3 , -6) - (6 , 8) = (-3 , -14)

#12 løsning:

For at finde det andet berøringspunkt skal du finde cos og sin til 53,13º + 180º = 233,13º.

xf = 10*cos( 233,13º ) = -6    ( xf  = xflyttet )

yf = 10*sin( 233,13º ) = -8

Du flytter nu cirklens centrum tilbage til den oprindelige position ved at addere ( 3 ; -6 ):

( x ; y ) = ( xf ; yf ) + ( 3 ; -6 ) = ( -3 ; -14 )

Mange tak for hjælpen :D