Differentialregning

Du har kun vist, at f(x) har et lokalt ekstremum ved x = 2, når a = 1. Det er ikke vist, at der er tale om et lokalt minimum. Man bør også forklare, hvad der foregår, hvorfor man løser en bestemt ligning, osv.

Jeg kan ikke finde ud af, at finde det andet nulpunkt. Det er så forvirrende det a, som er i f'(x)

Da polynomiet f '(x) = 3ax² -4x -4 for a = 1 bliver til f '(x) = 3x² -4x -4, skulle det da være ligetil at finde den anden rod.

hedder den så 3x(x-4) - 4?

#4

Nej, hvor kommer det fra?

Løs 2.-gradsligningen 3x² -4x -4 = 0 . Beregn diskriminant d, og beregn de to rødder. Den ene rod, x = 2, er allerede kendt.

f.eks. I denne opgave har jeg fundet nulpunkterne på denne måde;

g’(x) = 3/3x² – 10/2 x + 6

g’(x) = x² – 5x + 6

g’(x) = 0

x² – 5x + 6 = 0

x(x – 5) + 6 = 0

x = 3 V x = 2

#6

Jo, men dit udtryk i #4 er forkert. Og jeg forstår ikke, hvad du vil med det skridt i rodbestemmelsen.

Men min spørgsmål er om, jeg kan gøre det på samme måde, og hvis ja, hvordan skal parenteserne så sættes op?

#8

Genlæs #7. Jeg forstår ikke, hvad du vil med det skridt i beregningen af rødderne. Genlæs #5. Beregn diskriminanten, og beregn så rødderne.

Løs 2.-gradsligningen 3x² -4x -4 = 0 . d = (-4)² - 4·3·(-4) , x = ...

Jeg har fundet ud af det nu. Jeg vedhæfter lige en fil om 5 min, så kan du se, om jeg har gjort det korrekt.

#10

Kan du ikke bare beskrive det her i stedet for alle de filer?

Jeg håber virkelig på, at jeg har lavet det korrekt denne gang.

#12

Men nu har du jo ikke bestemt a, så at f har lokalt minimum for x = 2. Du har bare stiltiende antaget, at a = 1.

Og det er jo en bagvendt fremgangsmåde at du først antager, at a = 1, og så bagefter bestemmer a.

I din tidligere besvarelse havde du bestemt, at funktionen havde lokalt ekstremum for x = 2 , når a = 1. Tilbage var så blot at vise, at der var tale om et lokalt minimum ved at se på fortegnsvariationen for f '(x) omkring x = 2.

Jeg bestemmer da a, når f har lokaltminimum, når x = 2 med dette nedenunder??

Da dette er fundet, er det tid til, at bestemme a, når f har lokalt minimum, når x = 2. Dette gøres ved, at tage f’(2) = 0, og til sidst isoleres a.

f’(2) = 3a • 2² – 4 • 2 – 4

f’(2) = 12a – 8 – 4

f’(2) = 12a – 12

12a – 12 = 0

12a – 12 + 12 = 12

12a = 12

a =  12/12

a = 1

#14

Du starter med at finde rødderne i polynomiet 3x² -4x -4 . Der har du jo allerede indsat a = 1, før du har bestemt hvad a skal være. Det er da en bagvendt fremgangsmåde.

Nu har jeg prøvet igen. 

#16

Det er stadig forkert at konkludere, at f har lokalt minimum for x = 2, som du gør nederst på side 1. Det er kun vist, at grafen for f har vandret tangent for x = 2.

Fortegnsundersøgelsen for f '(x) med a = 1 omkring x = 2 vil så godtgøre, at der er tale om et lokalt minimum.

Så hvad skal jeg mere gøre for, at denne opgave er korrekt udført?

Vil du ikke prøve, at vise mig konkret hvad jeg skal gøre?

#19

Der er givet funktionen f(x) = ax³ -2x² -4x +3 , og man skal bestemme a, så at f har lokalt minimum for x = 2. Hvis f skal have et lokalt minimum for x = 2, skal der gælde, at f '(2) = 0. Da vi har

f '(x) = 3a·x² -4x -4 ,

skal der altså gælde, at f '(2) = 3a·2² -4·2 -4 = 12a - 12 = 12·(a-1) = 0 , dvs, at a = 1.

For a = 1 er f '(x) = 3x² -4x -4 = 3·(x-2)(x + 2/3) , så f '(x) er et 2.-gradspolynomium med rødderne x = 2 og x = -2/3 , hvis graf er en parabel, der vender grenene opad, så det er negativt mellem rødderne og positivt udenfor. Omkring x = 2 har det derfor fortegnsvariationen - 0 + , hvorfor f(x) har lokalt minimum i x = 2.