funktioner - differentialregning

Hvis f(x) beskriver radius i glassets cirkulære tværsnit, så er det korrekt, at man skal løse ligningen f '(x) = 0 for at finde lokale ekstrema for f(x). Hvis x er begrænset til et afsluttet interval [a,b] , skal man også undersøge funktionsværdierne i intervallets endepunkter.

     f(x) = -0.00029x³ + 0.069x² - 0.33x + 2.9

     f'(x) = -0.00087x² + 0.138x - 0.33

Sæt f'(x) lig 0 og løs andengradsligningen for x

     -0.00087x² + 0.138x - 0.33 = 0

     d = b² - 4ac = 0.138² - 4 * 0.00087 * (-0.33) ≈ 0.0179

Da d > 0 er der altså to løsninger (ekstrema for f(x)) til ligningen

     x = (-b +- √d) / 2a = (-0.138 +- √0.0179) / (2 * (-0.00087)) => x = 156.2 eller x = 2.419

Nu kan du foretage en fortegnsundersøgelse for at finde ud af, hvilken x-værdi der er maksimum og hvilken der er minimum

x     0     2.419     100     156.2     200

f'      -         0            +           0           -

f     Aft.       -         Stign.       -         Aft.

Det ses altså, at x = 2.419 er minimum for funktionen f(x) og x = 156.2 er maksimum for funktionen f(x).
Nu kan disse x-værdier indsættes i f(x) for at finde den mindste hhv. den største radius

     f(2.419) = -0.00029 * 2.419³ + 0.069 * 2.419² - 0.33 * 2.419 + 2.9 = 2.5 (Mindste radius)

     f(156.2) = -0.00029 * 156.2³ + 0.069 * 156.2² - 0.33 * 156.2 + 2.9 = 529.65 (Største radius)

Peace :-)

#2

Det er forkert at skrive, at

"x = 2.419 er minimum for funktionen f(x) og x = 156.2 er maksimum for funktionen f(x)"

x = 2,428 er et lokalt minimumspunkt for funktionen, mens x = 156,2 er et lokalt maksimumspunkt for funktionen. Funktionsværdierne f(2,428) og f(156,2) vil være et lokalt minimum, hhv. lokalt maksimum for funktionen.

Det er vigtigt at skelne mellem et ekstremumspunkt og et ekstremum for en funktion.

Det ser ud til, at der ertale om denne opgave

https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=1114100

så der skal gælde 0 ≤ x ≤ 14,5

Det er derfor vigtigt at undersøge intervallets endepunkter, som anført i #1.

#3

Tak for rettelsen :-)