Matematik
Identitet for cosh
Jeg har lidt svært ved denne opgave:
vis:
cosh(x) = 1 => x=0
Jeg kunne jo vise, at cosh(x)>1 for alle x>0. Men det lader til at være sværere, end jeg havde regnet med. Jeg er givet sædvanlige regneregler for eksponentialfunktionen, samt at den er defineret ud fra en regularitetsbetingelse:
exp(x) ≥ 1 + x
Som man kan se er det ikke noget problem, at vise at exp(x)>1 for alle x. Det der volder problemer er:
exp(-x) ≥ 1 - x
Svar #1
14. februar 2013 af peter lind
Brug definitionen cosh(x) = ½(ex+e-x) = 1. sæt y = ex. Det giver en andengradsligning i y som nemt kan løses.
Du kan godt bruge metoden med at se på forløbet af kurven; men så skal du også se på forløbet for x<0
Svar #2
14. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
Hvorfor også x<0? cosh(-x) = cosh(x)
nå men din metode er jo god nok i sig selv. Hvilken metode skulle jeg bruge, når jeg skulle se på forløbet.
Svar #3
14. februar 2013 af peter lind
Du skal netop have oplysningen om at cosh(x) = cosh(-x) med og dermed begrunde at du kan nøjes med kun at se på ikke negative værdier for x. Hvis du medtager den begrundelse kan du godt bruge din metode.
Svar #4
14. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
nå ja men min metode kræver bare, at jeg kan vise, at exp(-x)>1-x men det kan jeg ikke uden dit bevis, så jeg tror ikke der er anden vej end din elegante metode :)
Svar #5
14. februar 2013 af Andersen11 (Slettet)
Man har, at
cosh(x) = (ex + e-x)/2 , og sinh(x) = (ex - e-x)/2 .
Desuden har man
cosh'(x) = sinh(x), så
cosh'(x) = 0 ⇒ sinh(x) = 0 ⇒ ex = e-x ⇒ x = 0 .
Da sinh(x) < 0 for x < 0 , og sinh(x) > 0 for x > 0, ser man, at funktionen cosh(x) har globalt minimum for x = 0 med minimumsværdi cosh(0) = 1 . Ligningen cosh(x) = 1 har derfor kun den ene løsning x = 0 .
Svar #6
14. februar 2013 af aaaa202 (Slettet)
okay, men jeg må ikke rigtig bruge differentialregning endnu så det bliver vist din metode, som er den eneste mulige.
Skriv et svar til: Identitet for cosh
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.