Matematik

Differentiering til mirkoøkonomi

03. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Jeg har et spørgsmål vedr. differentiering, da jeg ikke er helt sikker på hvordan man differentiere når man har 2 ubekendte og skal differentiere først mht. den ene og derefter mht. den anden.

Et konkret eksempel:
√xy skal differentieres mht. x. Resultatet bliver (y)/(2√xy).

√xy skal differentieres mht. y. Resultatet bliver (x)/(2√xy).

Nogen der kan forklare hvordan man får dette og hvordan de generelle regler er?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Det vil føre alt for vidt at skulle introducere differentibilitetsbegrebet for funktioner af flere variable her.

Meget summarisk og uden matematisk stringens kan følgende siges.

Vi skriver kort:

f(x) = f(x1,x2,...,xk), x E A

for en funktion f:A->R hvor A er en delmængde af R^k, og lader altså x E A betegne et punkt.

Betragt nu et indre punkt x0 E A og lad v være en vilkårlig enhedsvektor i R^k. Man indfører så begrebet retningsafledet som følger:

Hvis funktionen g(h)=f(x0+hv) er differentiable i punktet h=0, siges funktionen f at være differentiabel i v's retning i punktet x0, og differentialkvotienten g'(0) kaldes den afledede af f i v's retning i punktet x0.

[I ovenstående definition er jeg sprunget let henover at redegøre for at g faktisk er defineret i en omegn af h=0].

Lader vi nu specielt retningsvektoren v være basisvektorerne ei, 1=<i/>
Det bemærkes, at i henhold til ovenstående definition er f differentiabel med hensyn til xi i punktet a=(a1,a2,...,ak) hvis og kun hvis funktionen

g(h)=f(a+h*ei)=f(a1,a2,..,ai+h,..,ak)

er differentiabel i punktet h=0, dvs, hvis og kun hvis funktionen

g_i(x)=f(a1,a2,..,x,..,ak)

er differentiabel i punktet x=ai.

Partiel differentiation for funktioner af k variable består således løst sagt deri, at k-1 af de variable holdes fast, hvorefter man undersøger den derved fremkomne funktion af een variabel.

Dine egne eksempler er skrevet på rebusform, men jeg vil tro der menes

f(x,y)=sqrt(xy)

Den partielle afledede af f mht x findes løs sagt ved at betragte y som en konstant og dernæst differentiere denne funktion. Det giver

df(x,y)/dx = (1/2sqrt(xy))*d(xy)/dx = y/(2sqrt(xy))

Tilsvarende for differentiation mht y.

Det skal nævnes at der for de partielle afledede d/dx_i anvendes særlige symboler (et 6-tal spejlet om en lodret akse).

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#1:
Det skal da vist være

1/(2sqrt(xy))*d(xy)/dx

midt i differentiationen. Men ellers er jeg enig.

//Epsilon

Svar #3
03. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Jeg er med på at df(x,y) = 1/(2sqrt(xy), men er ikke med på hvorfor det skal ganges med d(xy)/dx og hvordan det derfra bliver resultatet. Som udgangspunkt står der differentialkvovitienten af f(x,y) divideret med differentialkvotienten af x, korrekt? Hvordan bliver det til 1/(2sqrt(xy) * d(xy)/dx? Og derfra til y/(2sqrt(xy))?

Har "kun" haft mat. på B-niveau hvor vi kun lærte at differentiere almindelig funktioner, så det er muligt at det ligger mere lige for end jeg umiddelbart tror... men lige p.t. giver det ikke rigtig mening.

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Funktionen

f(x,y) = sqrt(xy)

er sammensat i såvel x som y. Det er derfor regnereglen om differentiation af en sammensat funktion, som bringes i anvendelse, når de partielle afledede bestemmes ved differentiation.

//Epsilon

Svar #5
03. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Ja okay, det begynder at give mening... det er korrekt at man, når man differentierer mht. x lader y være en konstant (og omvendt), ik? Og derfor blir d(xy) = y og dx = 1?

Bare for en sikkerheds skyld, hvad vil 3x+y blive hvis man differentierer mht. x og y?

Mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Nej, vi har, at

d(xy)/dx = y

Tilsvarende haves: d(xy)/dy = x. Der er ikke tale om en brøk med tæller 'd(xy)' og nævner 'dx'; det er differentialer, vi opererer med, og i denne kontekst læses symbolet 'd(xy)/dx' som "den partielt afledte af xy med hensyn til x".

Lad f: R^2 -> R være funktionen

f(x,y) = 3x + y

De partielt afledte af f er da

df(x,y)/dx = 3
df(x,y)/dy = 1

Som det korrekt bemærkes i #1, skal d'erne reelt være 6-taller spejlet i en lodret akse; et såkaldt 'blødt d'. De lader sig desværre ikke skrive her i forummet; men dette til trods er det forhåbentlig alligevel ganske klart, hvad der menes.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. oktober 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Jo, det er korrekt, at man opfatter y som en konstant, når man bestemmer den partielt afledte af f med hensyn til x, og helt tilsvarende opfattes x som en konstant, når man bestemmer den partielt afledte af f med hensyn til y.

//Epsilon

Svar #8
04. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Kan du foreklare hvordan du kommer frem til 3 og 1?

Er det korrekt at det blir 3 fordi y forsvinder når den bliver differentieret og x blir 1, så der står 3*1 = 3?

Hvordan df(x,y)/dy = 1 er jeg ikke helt med på...

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#8 Som nævnt i #1 og #7 opfattes alle andre variable end den, med hensyn til hvilken der differentieres, som konstante.

Altså er den partielle afledede af f i #6 som skrevet

df/dx = d(3x+y)/dx = 3d(x)/dx+d(y)/dx = 3*1 + 0 = 3

df/dy = d(3x+y)dy = 3d(x)/dy + d(y)dy = 3*0 + 1 = 1

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#9 Een gang til...

df/dy = d(3x+y)/dy = 3d(x)/dy + d(y)/dy = 3*0 + 1 = 1

Svar #11
04. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Det er jeg så med på nu... har bare det problem, at jeg, efter at have differentieret f(x,y)=3x+y mht. til x og y, skal dividere df/dx med df/dy og komme frem til en generel forskrift hvor både 3 og y indgår... og det gør de jo ikke når df/dx=3 og df/dy=1... det vil jo naturligt nok blive 3/1, hvilket gør det svært at sætte forskellige vædier for x og y ind. Nogen der forstår problemet og evt. kan hjælpe?

Svar #12
04. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

Som sagt skal det bruges i mikroøkonomi og i de fleste eksempler som jeg har kigget på blir resultatet noget i retning af y/x eller 3y/x

Svar #13
04. oktober 2005 af Reimar (Slettet)

#11

skulle have stået x og y i linje 4 - ikke 3 og y

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Næh, jeg kan ikke se problemet. At det omtalte forhold bliver konstant skyldes jo blot valget af f i #6. At du ikke kan 'sætte forskellige værdier for x og y ind' er ikke rigtigt. Du har jo netop beregnet, at for alle (x,y) E R^2 er det omtalte forhold uforandret lig 3.

Skriv et svar til: Differentiering til mirkoøkonomi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.