Algebraisk multiplicit og basis

Den algebraiske multiplicitet er det antal gange som λ er rod i det karakteristiske polynomie.

Den orthonomal basis findes ved at bruge Gram-Schmidt og derefter normere de indgående basisvektorer.

Jeg forstår ikke, hvad du mener med, at det er det antal gange som λ er rod i det karakteristiske polynomie? Kan du forklare lidt mere detaljeret?

Antag at et polynomie ser ud som følgende:

(x-λ₁)² •  (x-λ₂)

λ₁ har den geometriske multiplicitet 2
λ₂ har den geometriske multiplicitet 1

I dit specielle tilfælde vil λ=4 have den geometriske multiplicitet 3 og λ=0 den geometriske multiplicitet 1.

P_A(λ) = 0 ⇒ λ = {0, 4, 4, 4}. Så er rm(4) = 3, og rm(0) = 1. Dette er algebraisk multiplicitet. Geometrisk multiplicitet er antallet af basis for ens egenværdi ved at finde løsningmængden til ligningen (A - λE) = 0.

Hvis rm(λ) = em(λ) er matricen så diagonaliserbar, derfor forventes em(4) = 3 og em(0) = 1, dvs. geometrisk multiplicitet for λ = 4 er 3 mens λ = 0 er 1.

#4

Ja du har ret, - der fik jeg lige byttet rundt. Der skulle naturligvis stå den algebraiske multiplicitet.