integraler

Man benytter, at

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(t) dt

det tænkte jeg nok det måtte være på en eller anden måde, men jeg synes virkelig ikke altid det passer med den metode man bruger.

Tag f.eks.

∫1/(1+x²)dx

der sætter man x=tanu. Hvordan i alverden følger det, at man kan det af ovenstående sætning?

                                (F(g(x))) ' = F '(g(x) • g '(x) = f((g(x)) • g '(x)

         hvoraf
                                ∫ f((g(x)) • g '(x) dx = F(g(x)) + k

  og

                                _a∫^b f((g(x)) • g '(x) dx

   som med

                                 u = g(x)   og   du = g'(x)dx

   giver
                                _α=g(a)∫^β=g(b) f(u)du = F(β) - F(α) = F(g(b)) - F(g(a))

#2

Se svar #6 og #7 i denne tråd

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1311647#1312105

#2

Hvis x = tan(u), er dx = (1 + tan²(u)) du = (1+x²) du, og u = Arctan(x), så du = 1/(1+x²) dx , og man har da

∫ 1/(1+x²) dx = ∫ (1/(1+tan²(u))) · (1 + tan²(u)) du = ∫ du = u + k = tan^-1(x) + k = Arctan(x) + k .

#1

Gælder det ikke, at

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(t) dt |_{t = g(x)} ?

Højre side står for Fºg, hvor F er en stamfunktion til f.

@#2

eller det samme som #5 udformet

                                                  y = tan^-1(x)
           hvoraf
                                                  tan(y) = x                         som differentitieret implicit mht x
           giver
                                                                         dy
                                                  (1 + tan²(y)) • --- = 1
                                                                         dx

                                                              1
                                                   dy =  ----- dx                   som integreret mht x   
                                                           1 + x²
          giver
                                                                              
                                                   tan^-1(x) + k = ∫ (1/(1+x²)) dx
                                                                           
                                          
                                                  
                        

                                             
  

                                                

#6

Jo, det er da korrekt, at man kan subsituere tilbage igen, hvis man ønsker at udtrykke det i den oprindelige variable.

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(g(x)) d(g(x)) = ∫ f(t) dt := F(t) = F(g(x))