Matematik
plangeometri
Hvordan kan jeg bestemme en tangents ligning kun ud fra cirklens lignings og fra tangentens hældning?
Svar #1
06. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
Hvis tangentens hældning skal være a, betyder det, at vektoren p = [1 ; a] er en retningsvektor for tangenten. Tværvektoren p^ til retningsvektoren p er derfor en normalvektor til tangenten. Hvis cirklens centrum er punktet C, og dens radius er r, finder man derfor stedvektorer til de to mulige røringspunkter P ved
OP = OC ± r·p/|p|
Svar #2
06. marts 2013 af peter lind
Find en normalvektor n for tangenten. Tangentens røringpunkt P kan findes som OP = OC ±r*n/|n|
Svar #3
06. marts 2013 af anonym1996 (Slettet)
En cirkel har en radius på 6 og centrum i (-2,3)
Hældningen af tangenten er 3/4
OP = [-2;3] ± 6*[1;2/3] / [1;2/3]
?
Svar #4
06. marts 2013 af peter lind
Hvis hældningen er 3/4 er (1, 3/4) retningsvektor og (-3/4, 1) normalvektor. Du skal dividere med længden af normalvektoren ikke med normalvektoren selv. Man kan ikke dividere med en vektor
Svar #5
06. marts 2013 af mathon
en normalvektor til de søgte tangenter er
n[-3,4] |n| = 5
set fra den ene tangent t1
ligger centrum (-2,3) i
t1's positive halvplan
set i forhold til retningen af n[-3,4]
hvorfor c1 i t1's ligning
-3x + 4y + c1 = 0
beregnes af
-3•(-2) + 4•3 + c1
---------------------- = +6
5
-3•(-2) + 4•3 + c1 = 30
c1 = 12
t1: -3x + 4y +12 = 0
eller
t1: y = (3/4)x - 3
set fra den anden tangent t2
ligger centrum (-2,3) i
t2's negative halvplan
set i forhold til retningen af n[-3,4]
hvorfor c2 i t2's ligning
-3x + 4y + c2 = 0
beregnes af
-3•(-2) + 4•3 + c2
---------------------- = -6
5
-3•(-2) + 4•3 + c2 = 30
c2 = -48
t2: -3x + 4y - 48 = 0
eller
t2: y = (3/4)x + 12
Svar #6
07. marts 2013 af mathon
eller
en normalvektor til de søgte tangenter er
n[-3,4] |n| = 5
OP = OC ± r·n/|n| = OC ± (6/5)·n
OP = [-2,3] ±1,2•[-3,4]
OP1 = [-2,3] +1,2•[-3,4] = [-5.6 ; 7.8]
OP2 = [-2,3] -1,2•[-3,4] = [1.6 ; -1.8]
tangentligning i Po(xo,yo) for
cirklen
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
er
(xo-a)•(x-a) + (yo-b)•(y-b) = r2
hvoraf
tangentligning t1
(-5,6+2)•(x+2) + (7,8-3)•(y-3) = 36
y = (3/4)x + 12
hvoraf
tangentligning t2
(1,6+2)•(x+2) + (-1,8-3)•(y-3) = 36
y = (3/4)x - 3
Svar #7
07. marts 2013 af mathon
eller
da tangenternes hældningstal er positivt, ligger de søgte tangeringspunkter på
henholdsvis venstre øvre kvartcirkel og højre nedre kvartcirkel:
venstre øvre kvartcirkel
har ligningen
y = 3 + √(36-(x+2)2) -8 ≤ x ≤ -2 3 ≤ y ≤ 9
dy (x+2)
---- = - ------------------ = (3/4) og -8 ≤ x ≤ -2
dx 3+√(36-(x+2)2)
hvoraf
x = -5,6
og
y = 3 + √(36-(x+2)2) = 7,8
røringspunkt R1 = (-5.6 ; 7.8)
tangentligning
for t1
y = (3/4)x + b
7,8 = (3/4)•(-5,6) + b
b = 12
y = (3/4)x + 12
højre nedre kvartcirkel
har ligningen
y = 3 - √(36-(x+2)2) -2 ≤ x ≤ 4 -3 ≤ y ≤ 3
dy (x+2)
---- = - ------------------ = (3/4) og -2 ≤ x ≤ 4
dx 3-√(36-(x+2)2)
hvoraf
x = 1,6
og
y = 3 - √(36-(1,6+2)2) = -1,8
røringspunkt R2 = (1.6 ; -1.8)
tangentligning
for t2
y = (3/4)x + b
-1,8 = (3/4)•1,6 + b
b = -3
y = (3/4)x - 3
Skriv et svar til: plangeometri
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.