Matematik
Vektorer
Hej, er der nogen, der kan hjælpe mig med følgende opgave:
En cirkel har centrum i C(6,8), og punktet P(-2,4) ligger på cirklen. Bestem en ligning for tangenten til cirklen i P.
Svar #1
16. marts 2013 af SuneChr
Find vektor CP . Retningsvektor for tangenten i P er da tværvektor til CP .
Eller
(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2
Svar #2
16. marts 2013 af Krabasken (Slettet)
CP har hældningen (8-4)/(6+2) = 0,5
Tangenten (vinkelret på CP) har hældningen -1/0,5 = -2
y - 4 = -2 * (x - (-2))
y = -2x
Skitse vedhæftet :-)
Svar #5
17. marts 2013 af mathon
metode 1
CP er normalvektor til den søgte tangent
CP = OP - OC = [-2,4] - [6,8] = [-8,-4]
når Q(x,y) er et vilkårligt punkt på tangenten til cirklen i P
er vektorerne
CP og PQ ortogonale
hvoraf tangentligningen bestemmes
af skalarproduktet
t: CP • PQ = 0
[-8,-4] • [x-(-2),y-4] = 0
-8•(x+2) + (-4)•(y-4) = 0
-8x - 16 - 4y + 16 = 0
-8x = 4y
y = -2x
Svar #6
17. marts 2013 af mathon
metode 2
CP = [-8,-4] er normalvektor til den søgte tangent
hvorfor
CP^ = [4,-8] er retningsvektor for tangenten,
som så også har retningvektor [1,-2] = (1/4)•[4,-8]
en ret linje med retningsvektor [1,-2] har hældningstal -2
tangenten til cirklen i P(-2,4)
har derfor ligningen
y - yo = a • (x - xo)
y - 4 = (-2) • (x - (-2))
y - 4 = (-2) • (x + 2)
y - 4 = (-2)x - 4
y = -2x
Svar #7
17. marts 2013 af mathon
metode 3
cirklen med ligningen
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
har i punktet Po(xo,yo)
tangentligningen
(xo - a) • (x - a) + (yo - b) • (y - b) = r2
dvs
r2 = |CP|2 = (-8)2 + (-4)2 = 80
cirklen med ligningen
(x - 6)2 + (y - 8)2 = 80
har i punktet Po(-2,4)
tangentlingingen
(-2 - 6) • (x - 6) + (4 - 8) • (y - 8) = 80
(-8) • (x - 6) + (-4) • (y - 8) = 80
2 • (x - 6) + (y - 8) = -20
y - 8 = -2x + 12 - 20
y - 8 = -2x - 8
y = -2x
Skriv et svar til: Vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.