f(f(x)) - Matematik - Studieportalen.dk

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. oktober 2005 af frodo (Slettet)

hvor har du opgaven fra?

Svar #2
08. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

Jeg har selv lavet den!

Jeg læste i "Den ny verden ifølge Mr. Tompkins" at summen af to hastigheder, når de er i samme retning, er (v_1+v_2)/(1+v_1*v_2/c) hvor c er lysets hastighed. Jeg ville så prøve at finde en formel, for den samlede hastighed når de var vinkelrette på hinanden, og når de var lige hurtige. Og så kom jeg frem til, at f(f(x)) nok var 2*x/(1+x^2)

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. oktober 2005 af frodo (Slettet)

hvad blev svaret?

Svar #4
08. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

huh. Jeg har ik noget svar. Det er derfor jeg spørger.

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. oktober 2005 af Duffy

Det kan selvsagt ikke lade sig gøre
da der ingen entydighed er.
For hvis nu

f(x) = x^(-2)

vil

f(f(x)) = (x^(-2))^(-2) = x^4

og hvis

f(x) = x^(2)

f(f(x)) = (x^(2))^2 = x^4

man kan altså ikke slutte "tilbage" til hvad f
ville være ud fra et funktionsudtryk.

Duffy

Svar #6
08. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

...men hvis man ved hvordan man lægger to hastigheder, der står vinkelret på hinanden, sammen, kan man (måske) finde svaret.

Svar #7
08. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

ups, der kom en imellem.
#5 men er der grænser for hvor mange funktioner, der opfylder ligningen? Hvis der f. eks. kun findes 2, kan man sandsynligvis udelukke den ene funktion,

Svar #8
08. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

Jeg ved at f(x) ca. er lig sqrt(2)*x for x tæt på 0

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. oktober 2005 af DMUS (Slettet)

Kan jeg godt følge dig i, da sqrt(2)*(sqrt(2)*x) = 2x... Men om du kan bruge det til noget videre, i dont know.

Det er svært at finde et entydigt svar umiddelbart..

Svar #10
09. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

f(x) må være symmetrisk om (0,0), ligesom f(f(x)). Derudover ved jeg at:
x=1=det kan udelukke funktioner som x^-2 i #5.

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Det er en frugtesløs opgave, thi udgangspunktet er ikke korrekt.

Omend dette indlæg vil bevæge tråden fra matematikkens over i fysikkens verden, så besvares spørgsmålet i #2 vha den specielle relativitetsteori.

Indledningsvis kan bogens påstand eftervises. Betragt dertil tre referencesystemer A, B og C. De bevæger sig alle retlinet, A med hastigheden v relativt til B og B med hastigheden u relativt til C.

C--- u --->B---- v ---->A

Hvad er A's hastighed relativt til C ?

Lorentz tranformationerne redegør netop for hvorledes afstande og tider transformerer mellem forskellige systemer. Transformationen mellem system A og B er

xB = gamma(v)*(xA-t*v)
tB = gamma(v)*(tA-v*xA/c^2)

hvor gamma(v) er tidsdilatationen

gamma(v) = 1/sqrt(1-(v/c)^2)

Tilsvarende er transformationen mellem systemet B og C

xC = gamma(u)*(xB-t*u)
tC = gamma(u)*(tB-u*xB/c^2)

Substitueres tranformationen for xB,tB ind i udtrykkene for xC, tC fås

xC = gamma(w)*(xA-w*tA)
tC = gamma(w)*(tA-w*xA/c^2)

hvor

w = (u+v)/(1+uv/c^2)

Forholdene er mere komplicerede når hastighederne ikke er parallelle. Vi lader nu B bevæge sig med hastigheden (vx,0,0) i systemet A, og C med hastigheden (ux,uy,uz) i systemet B og vi ønsker at bestemme hastigheden af A i systemet C. Bemærk antagelsen om at B udelukkende bevæger sig i retningen bestemt ved A's x-akse. Såfremt dette ikke er tilfældet kan man altid ved passende rotationer af A sørge for at dette er opfyldt.

Modsat det en-dimensionale tilfælde ovenfor re det nu ikke længere ligegyldigt hvorledes systemerne A og B er orienteret relativ til hinanden. Hvis B vender anderledes end A vil bevægelse i en given retning i B ikke svare til en bevægelse i samme retning i A. For at undgå dette låses A's og B's y- og z-akse således at

yB = yA
zB = zA

A's bevægelse relativt til B er da rent translatorisk, følgelig gælder Lorentz transformationerne mellem A og B. Heraf

xB = gamma(vx)*(xA-t*vx)
yB = yA
zB = zA
tB = gamma(vx)*(tA-vx*xA/c^2)

Relativt til B bevæger C sig langs en ret linie i R^4 med parameterfremstillingen

r(t) = (ux*t,uy*t,uz*t,t)

Ved at udnytte Lorentz-transformationen fra B til A (som før) fås dernæst at relativt til A bevæger C sig langs en ret linie med parameterfremstillingen

r(t) = (wx*t,wy*t,wz*t,t)

hvor

wx = (ux+vx)/(1+ux*vx/c^2)

wy = uy/(gamma(vx)*(1+ux*vx/c^2))

wz = uz/(gamma(vx)*(1+ux*vx/c^2))

gamma(vx) = 1/sqrt(1-(vx/c)^2)

Så kan du selv prøve med f.eks. u=(0,uy,0).

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. oktober 2005 af valentine (Slettet)

øh lærer man det i 1.htx???

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Næppe, men hellere lukke tråden end spilde tiden med en uløselig opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. oktober 2005 af valentine (Slettet)

næh det er rigtigt nok. Men hvordan har personen lært det, når der står at han er 16 år og går på 1. år på htx... så er han godt nok hurtigt

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)

Hvis du refererer til #11 så er det jo mig der har forfattet det og det er lææænge siden jag var 16.

Hvis du mener #2, ja så er spørgeren vel blot nysgerrig og har studset over noget der stod i en populærvidenskabelig bog.

Brugbart svar (0)

Svar #16
09. oktober 2005 af valentine (Slettet)

Nej, ikke det du har skrevet, bare overordnet, så lærer man slet ikke noget af det han taler om OVERHOVEDET i 1.g/1. år htx.

Brugbart svar (0)

Svar #17
09. oktober 2005 af DMUS (Slettet)

#16,
Nej det har du ret i, men folk med en interesse for matematik har vel behov for videre stimulans i form af egene studier..

Men du har ret, han er vidst rimelig god til matematik.. :)

Svar #18
09. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

#17: takker

#11: Tja, i har nok ret; det er ikke noget man lærer i 1. htx. Hvad er det helt præcist, du transformere med:
xB = gamma(v)*(xA-t*v)
tB = gamma(v)*(tA-v*xA/c^2)?
Og hvad er t?

Svar #19
09. oktober 2005 af x^n+y^n=z^n (Slettet)

Jeg har et spørgsmål til:
Du skriver "det er en frugtesløs opgave, thi udgangspunktet er ikke korrekt". Er det fordi der findes uendelig mange funktioner der opfylder kravene, eller har jeg lavet en anden fejl?

Brugbart svar (0)

Svar #20
09. oktober 2005 af fixer (Slettet)

#18

De nævnte formler er Lorentz-transformationen mellem system B og A. Lorentz-transformationerne benyttes til at transformere rum- og tidskoordinaterne fra eet inertialsystem til et andet, der bevæger sig langs det første systems x-akse.

t er tiden.

#19 Jeg mente, at hvis dit udtryk g(x)=2x/(1+x^2) er hastighedssummen, så er det ikke det rigtige udgangspunkt for dine overvejelser mht at finde de funktioner f, der opfylder (fof)(x)=g(x). Hastighedssummen er nemlig, for u=(0,uy,0)

wx = vx

wy = uy/gamma(vx)

wz = 0