Side 2 - f(f(x))

#20,1: Er t bare "tiden"? Ikke tiden fra et eller andet til et eller andet andet? Kan jeg få et eksempel på brugen af de to formler?

#20,2: Min ide var:
(Enheden for hastighederne er lyshastigheder)
Referencesystem B bevæger sig med hastigheden x i forhold til A. Referencesystem C bevæger sig med hastigheden x den modsatte vej (altså -x) i forhold til A.
Referencesystem D bevæger sig med hastigheden x i forhold til A, men vilkeltret på de andre hastigheder. (hmm dårlig formulering, men kunne ikke finde på noget bedre) Hastighedsforskellen på B og C (fundet vha. A) må være 2x/(1+x^2).
Da AB og AD er vinkeltret på hinanden må BD være f(x), og CD er også f(x). Da BD og CD står vinkletret på hinanden (gør de ik?) er BC også f(f(x)). Altså:
BC=f(f(x))=2x/(1+x^2)
Hvor er fejlen(e), eller er det hele én stor fejl?

vilkeltret->vinkelret

Den specielle relativitetsteori benytter ligninger kendt som Lorentz-transformationer til at beskrive hvorledes en begivenhed, der finder sted i eet inertialsystem, vil synes for en observatør i et andet inertialsystem.

En begivenhed er i relativitetsteorien et punkt i rum-tidskontinuumet, altså et punkt med tre rumkoordinater og en tidskoordinat.

Betragt nu to inertialsystemer, S og S', orienteret såldes at S' bevæger sig ud langs x-aksen i S med den relative hastighed v. Antag endvidere at (0,0,0,0) i S er sammenfaldende med (0,0,0,0) i S'. Hvis nu en begivenhed har koordinaterne (t,x,y,z) i S og (t',x',y',z') i S', så er disse koordinater relateret via transformationerne

t'= gamma*(t-vx/c^2)
x'= gamma*(x-vt)
y'= y
z'= z

hvor

gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2)

Lad os tage dit tankeeksperiment. Set fra A fjerner B og C sig faktisk fra hinanden med hastigheden 2x, unaset om x=c. Det er der ikke noget galt i, thi der er ikke tale om at noget signal kan udbrede sig mellem B og C med mere end lysets hastighed. Men B vil bedømme C's relative hastighed som f(x)=2x/(1+x^2) og vice versa.

Du kan dog ikke benytte det faktum, at AB og AD er vinkelrette på hinanden. B's hastighed relativt til A er jo for det første ikke f(x), men x. Af ortogonaliteten kan ikke sluttes at B's hastighed i forhold til D også er x (eller f(x)), thi formlen for addition af hastigheder gælder kun parallelle hastigheder.

Slutteligt er BD og CD ikke vinkelrette. BD og CD er hinandens spejlbilleder i "linien AD. De danner derfor lige store vinkler med AD, og deres sum kan derfor kun være 90 grader dersom de begge er 45 grader. Vinklen variere imidlertid med tiden.

Tak for svarene. Det skal lige tænke lidt over!

hmm, kan det passe, at hvis man bevæger sig med halvdelen af lysets hastighed i et år, har man bevæget sig 3^-½ (ca. 0,577) lysår?

#25 Glem det.

#11 Kan du ikke vise, hvordan du kommer frem til

xC = gamma(w)*(xA-w*tA)
tC = gamma(w)*(tA-w*xA/c^2) ?

#27
Det er ret trivielle regninger.

Vi har givet

xB = gamma(v)*(xA-tA*v) (1)
tB = gamma(v)*(tA-v*xA/c^2) (2)

hvor gamma(v) er tidsdilatationen

gamma(v) = 1/sqrt(1-(v/c)^2)

Tilsvarende er transformationen mellem systemet B og C

xC = gamma(u)*(xB-tB*u) (3)
tC = gamma(u)*(tB-u*xB/c^2) (4)

Jeg vil vise hvorledes udledningen af udtrykket for xC forløber. Det er helt analoge regninger der foretages for tC.

Vi indsætter altså (1) og (2) i (3):

xC = gamma(u)*(xB-tB*u) =

gamma(u)*([gamma(v)(xA-tA*v)]-u*[gamma(v)(tA-v*xA/c^2)]) =

gamma(u)*(xA*gamma(v)*[1+uv/c^2]-tA*gamma(v)[u+v]) =

gamma(u)gamma(v)(1+uv/c^2)[xA-(u+v)/(1+uv/c^2)*tA] (5)

Herfra betragtes nu udelukkende faktoren foran leddet [...]. Så haves følgende identiteter

gamma(u)gamma(v)(1+uv/c^2) =

1/sqrt(1-(u/c)^2)*1/sqrt(1-(v/c)^2)*(1+uv/c^2) =

(1+uv/c^2)/sqrt([1-(u/c)^2][1-(v/c)^2]) =

(1+uv/c^2)/sqrt(1-(u/c)^2-(v/c)^2+(uv/c)^2) =

(1+uv/c^2)/sqrt(1-(u/c)^2-(v/c)^2+(uv/c)^2+2uv/c^2-2uv/c^2) =

(1+uv/c^2)/sqrt([1+uv/c^2]^2-[((u+v)^2)/c^2]) =

1/sqrt(1-[(u+v)/(1+uv/c^2)]/c^2) =

1/sqrt(1-(w/c)^2) =

gamma(w) (6)

idet vi definerer

w = (u+v)/(1+uv/c^2) (7)

Substitution af (6) og (7) i (5) giver nu det ønskede

xC = gamma(w)(xA-tA*w)

#28 "Det er ret trivielle regninger". tja, alt er relativt; det er i hvert ikke ret trivielt i forhold til 1. htx!

Jeg har forstået udregningerne ned til

(1+uv/c^2)/sqrt([1+uv/c^2]^2-[((u+v)^2)/c^2]) =

1/sqrt(1-[(u+v)/(1+uv/c^2)]/c^2) =

1/sqrt(1-(w/c)^2) =

,som jeg kan få til at passe. Burde den anden af disse formler ikke være:

1/sqrt(1-[((u+v)/(1+uv/c^2))/c]^2?

#29
Jo. Tastefejl.

Tak for svarene.

Nederst i 11#:
Skal jeg bare indsætte ux=0 og uz=0 i de formler du har skrevet? Det bliver:

wx = vx

wy = uy/gamma(vx)

wz = 0

Er det mulig at lægge disse hastigheder sammen?