Ekstremalværdisætningen

At sætningen også gælder for andre end kontinuerte funktioner er ikke det samme som at den ikke gælder for kontinuerte funktioner. Matemattikerne har lavet nogle meget mærkværdige funktioner, som viser at hvad man rent umiddelbart tror ikke gælder. Jeg aner ikke om det er tilfælde her; men du skal altså være lidt forsigtig med bare at udvide det til ikke kontinuerte funktioner. Beviset holder for kontinuerte funktioner, og det er det der er væsentlig

Man skal formodentlig i starten vise, at der findes et ξ så at f(x) ≤ f(ξ) for alle x ∈ [a;b] .

Det er noget vrøvl at skrive:

"Lad os vise, at f(ξ) = M. Der gælder per definition at f(ξ)  ≤ M så udfordringen er at bevise det modstte."

Det modsatte af f(ξ)  ≤ M er ikke f(ξ) = M , men f(ξ) > M .

Argumentationen omkring intervallerne er også meget tåget og upræcis.

Det, man skal vise, er, at en kontinuert funktion på et begrænset, afsluttet interval, antager et maksimum og et minimum, bl.a., at der findes et ξ ∈ [a;b] så at f(ξ) = M = sup(f(x),x ∈ [a;b]) .

Jeg er enig i, at det er tåget (det er ikke mig, der har lavet beviset). Med hensyn til upræcished er det nok, fordi jeg har skåret ned på detaljer for at skrive det kortfattet af. Men jeg synes ikke helt jeg fik svar på mit spørgsmål. Mit spørgsmål er om det overhovedet er nødvendigt at anvende at f er kontinuert. For siden der netop findes ét tal ξ som er indeholdt i alle intervallerne i følgen og vi hele tiden vælger det interval, hvor supremum for f er indeholdt så må f(ξ) jo være større end eller lig alle andre f(x). For antag den ikke var, så ville vi jo ikke vælge det interval, hvor den hele tiden var indeholdt. Jeg synes altså min pointe er væsentlig. Og hvis man ikke skal bruge kontinuiteten så må jeg altså bare sige, at den også kan holde for andre funktioner eller at der skal andre egenskaber ved kontinuerte funktioner i spil for at vise at den kun kan holde for denne type. Med andre ord er min endelige pointe altså: Kontinuetetsegenskaben er fuldstændig uvæsentlig for dette bevis. Er I enige? 

Jeg er helt uenig. Der bevises at f(x) er kontinuert => at f(x) har et maksimum på intervallet. Det siger intet om ikke kontinuerte funktioner. Der findes helt sikkert også andre ikke kontinuerte funktioner der har et maksimum; men det siger sætningen bare ikke noget om

Jeg er helt enig med Peter Lind i #4. Det er helt afgørende for beviset, at funktionen er kontinuert. Man viser, at billedet ved en kontinuert afbildning af en begrænset, afsluttet mængde også er begrænset og afsluttet, hvorfor sup(f(x), x∈[a;b]) tilhører f([a;b]).

Hej peter. Så tror jeg du har misforstået mit spørgsmål. Pointen er netop, at jeg har prøvet at argumentere for, at man slet ikke behøver at bruge kontinuitetsegenskaben for at nå frem til samme pointe. De bruger den til at vise at:
M=sup(f(x)) < f(ξ)+ε
Og da M ≥ f(ξ) fremtvinges uligheden ved at vælge epsilon mindre og mindre. 
MEN! Det jeg har prøvet at sige er, at det må gælde helt naturligt at f(ξ) er større end alle andre f(x). For var den ikke det, ville vi jo ikke have valgt de intervaller, der successivt indeholdt ξ.
edit: ahh men er det i virkeligheden så fordi, at kontinuitetsegenskaben bruges til at slutte begrænsetheden af f(ξ)? Men må den ikke nødvendigvis være begrænset - det er jo bare et tal. 

#6

Der er forskellige måder, hvorpå sætningen kan vises. Du bliver nødt til at gøre det klart, hvilke sætninger og forudsætninger, der går forud i dit pensum på dette trin. Det er på ingen måde klart fra det vedlagte i #0.

hmm.. Det der nok nager mig er bare, at jeg synes det kan bevises meget simplere.
Lad en successiv intervaldeling, hvor vi hele tiden vælger det interval hvor supremum antages. Da må det punkt vi når til til slut (vi har tidligere bevist, at der i en intervalfølge hvor længden går mod 0 findes netop ét tal som tilhørerer alle delintervallerne) jo nødvendigvis være større end alle de andre. Jeg synes ikke det kræver nogen forudsætninger om kontinuitet, at dette skal gælde. Man kan sige, at det ikke sluttes at f er begrænset men følger det ikke helt naturligt af at den er defineret i alle punkter og dermed sender alle punkter over i konkrete tal. Ethvert tal er opad begrænset, da vi bare kan lægge +1 til. 
Hvad er der galt med denne tankegang. 

#8

Hvordan ved du, at du kan vælge intervaller, hvor supremum antages?

Enhver ikke-top opad begrænset mængde har et supremum. Så det du i virkeligheden siger er, at jeg ikke har gjort det klart f er begrænset. hmm... det er vel rigtigt, og det er det man bruger kontinuiteten til at vise. 
tak for al jeres hjælp, jeg tror jeg forstår det nu 

En lille kommentar,
Husk det kun gælder hvis intervallet er afsluttet og begrænset, fx er 1/x kontinuert på (0,1], men har ikke noget maksimum i intervallet.
Lad os sige det også galt for diskontinuerte funktion betragt så f(x)=1/x på intervallet [-1,1] i hvilket punkt skulle den have min og maks? Begge skulle antages i x=0( i sig en modstig) og derfor giver funktionen slet ikke mening i punktet x=0, så det kan ikke være der, anden bedste kandidat skulle være x=0+epsilon(for et maks), men der kan altid findes et tal mindre end epsilon(epsilon er vilkårlig, men fast) og dermed en større f(x), altså gælder sætning ikke for diskontinuerte funktioner.

Det kan nemt udvides til et eksempel, der viser at kravet om kontinuitet er nødvendig. Definer funktionen f(x) = 1/x for 0<x≤1 og ½ for x=0 funktionen eksisterer i hele det lukkede interval; men har ikke en maksimumværdi