Optimering og Differentialregning

Der er mange måder at lave et kræmmerhus eller to ud af en A4-side på

Hvilken skal det være (tegning) - ?

Hej er Opgave hvis det kan hjælpe

Kald cirklens radius for R. Cirklens omkreds er da O = 2π·R. Hvis centervinklen i cirkeludsnittet kaldes θ , er cirkeludsnittets buelængde da θ·R, og omkredsen i keglens grundflade er da

O_kegle = 2π·R - θ·R .

Radius i keglens grundflade er da

r = O_kegle / (2π) = (2π·R - θ·R) / (2π) = R - (θ(2π))·R .

Højden h i keglen findes af Pythagoras:

h² + r² = R²

Det er således muligt at udtrykke rumfanget V af keglen ved cirklens radius R og centervinklen θ i cirkeludsnittet:

V = (π/3)·h·r²

og man kan da finde ekstrema for funktionen V(θ).

Mange tak

Vent forstår ikke hvorfor skriver du: Det er således muligt at udtrykke rumfanget V af keglen ved cirklens radius R og centervinklen θ i cirkeludsnittet: V = (π/3)·h·r2

Jeg vil stå med 2 ubekendte?

Her kommer et andet bud:

Den store cirkels radius kaldes R
 

Hvis der fjernes x (fx. 1/5), bliver keglens omkreds 2*π*R*(1-x)
 

Og dermed bliver keglens radius R*(1-x)
 

Sidelinien er stadig R
 

Højden bliver da (Pyth.) √(R^2-R^2*(1-x)²) = √(R²*(1-1+x)) = R*√(x)
 

Keglens rumfang V(x) = 1/3 * π * r² * h =
 

1/3 * π * R² * ((1-x)² * R*√(x) = π/3 * (R³) * ((1-x)²) * √(x)
 

V'(x) = (π*(x-1)*(5x-1)*R³) / (6*√(x))
 

x = 1/5 dvs. der fjernes 72 grader
 

#3 Forstår altså ikke hvordanman kan udtrykke rumfanget V af keglen ved cirklens radius R og centervinklen θ i cirkeludsnittet. Du har jo 2 ubekendte så og det kan du vel ikke bruge til så meget når du skal finde den afledte funktion og efterfølgende sætte f'(x)=0 

Det kan være der er noget du hurtigt går forbi som jeg ikke helt får med?

# 8

Husk, at R er ikke nogen ubekendt - R er en given radius i cirklen - vi kender ikke talværdien, men det behøver vi heller ikke - vi regner bare videre med den  som "R"

:-)

#8

R skal holdes fast, så der er kun centervinklen at variere. Af #3 får man

V(θ) = (π/3)·h·r² = (π/3) · [R² - r²]^1/2 · r² ,

hvor

r = R - (θ/(2π))·R

Man har så

V'(θ) = (π/3) · (1/(2[R² - r²]^1/2) · (-2r·dr/dθ) · r² + (π/3) · [R² - r²]^1/2 · 2r·dr/dθ ,

hvor

dr/dθ = -2π·R .

Man får så

V'(θ) = 0 ⇒

(1/2)·(-2r)·r² + (R² - r²)·2r = 0 , dvs

3r³ = 2r·R² , eller

r/R = (2/3)^1/2 , og dermed

θ/(2π) = 1 - r/R = 1 - (2/3)^1/2 ≈ 0,1835 ,

svarende til

θ = 0,1835 · 2π = 1,15299 rad = 66,06º

#7 indeholder en fejl i beregningen af højden, idet 1 - (1-x)² ikke er lig med 1 -1+x .

# 10

Ups!

Tak :-)

Til opgaven:

Hvis vi nu også anvender det fjernede cirkelstykke til at danne et kræmmerhus.

b) Hvad skal cirkeludsnittet være for at det samlede rumfang på de to kræmmerhuse bliver størst muligt?

Jeg tænker det er muligt at benytte udtrykket for rumfanget i den tidligere opgave, og finde et udtryk for rumfanget af kræmmerhuset, der er lavet af det fjernede cirkelstykke. Disse udtryk sammensættes og optimeres. Er denne fremgangsmåde korrekt?

Jeg mangler lidt hjælp til, hvordan jeg opskriver et udtryk for rumfaget af kræmmerhuset, der er lavet af det fjernede cirkelstykke.