Matematik

Determinanter(lin alg)

09. april 2013 af Stats

Bestem de karakteristiske polynomier for følgende matricer og find alle reelle rødder i hvert af
polynomierne:

$\mathbf{A_1}=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \mathbf{A_2=diag}(a_1,a_2,a_2), \mathbf{A_3=bidiag}(b_1,b_2,b_3)$

Vi har da det karateristiske polynomi for A₁:

$\mathbf{K_{A_1}(\lambda )= A_1-\lambda E}=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix}$

Det vi ser her foroven er det karakteristiske polynomi for A₁

$(1-\lambda )\cdot (4-\lambda )-3\cdot 2$

....

Hvordan ser jeg rødderne udfra determinanten som jeg har skrevet ovenfor, og hvordan skal jeg ''lukke'' op for A₂ og A₃?

Jeg har en idé til at rødderne er 1 og 4, men ved ikke om idéen holder i den forstand

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. april 2013 af Andersen11 (Slettet)

Man skal for A₁ bestemme rødderne i polynomiet

(1-λ)(4-λ) - 3·2

der er et 2.-gradspolynomium

p(λ) = λ² -5λ -2 = 0 .

Din idé om rødderne holder ikke stik.

A₂ er en diagonalmatrix. Det karakteristiske polynomium er

p(λ) = (a₁-λ)(a₂-λ)(a₃-λ)

der allerede er faktoriseret og ligetil at løse for rødder.

En bidiagonalmatrix er en øvre eller nedre trekantmatrix. Dens determinant er lig med produktet af diagonalelementerne.

Skriv et svar til: Determinanter(lin alg)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.