Differentialregning mm.

Du skal benytte tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten for funktionen f(x) = x³ .

Dernæst benyttes tangentligningen

y = f '(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

for den pågældende funktion i punktet (2 , f(2)).

                                     f(x_o+h) - f(x_o)
     grænseværdien for  --------------- = f '(x_o)
         for h → 0                      h

dvs

                                     (x_o+h)³ - x_o³
     grænseværdien for  -------------- = (x_o³) '
         for h → 0                     h

hint:
             (x_o+h)³ = x_o³ + 3x_o²•h + 3x_o•h² + h³

#1

For at finde sekanthældningen benytter jeg mig af --> Sekanthældning= delta(y)/delta(x)

Hvis vi så tager den videre --> Sekanthældning= f(x+delta(x))-f(x)/delta(x)

Så fjerner jeg funktionen så den kommer til at se sådan her ud:

(x+delta(x))^3-x^3/delta(x)      -->       (x^3+delta(x)^3+3xdelta(x)-x^3)/delta(x)

Så reducerer jeg:

delta(x)^2+3x 

 

Er dette korrekt?

med din notation

                                     f(x_o+Δx) - f(x_o)
     grænseværdien for  ----------------- = f '(x_o)
         for Δx → 0                     Δx

dvs

                                     (x_o+Δx)³ - x_o³
     grænseværdien for  ---------------- = (x_o³) '
         for Δx → 0                     Δx

...............

 hint:
             (x_o+Δx)³ = x_o³ + 3x_o²•Δx + 3x_o•(Δx)² + (Δx)³

#3

Nej, du skal udregne (x+Δx)³ korrekt.

(x+Δx)³ = x³ + 3x²·Δx + 3x·(Δx)² + (Δx)³

#4

Hej Mathon,

Først og fremmest tak for din hjælp, men jeg forstår ikke helt dit hint

hint:
             (x_o+Δx)³ = x_o³ + 3x_o²•Δx + 3x_o•Δx² + Δx³

#5

#3

Ja okay nu forstår jeg. Jeg har vel udregnet (x+Δx)^3 forkert.

Men hvordan kommer jeg så videre derfra?

       (a+b)³ = (a+b)² • (a+b) = (a² + 2ab + b²) • (a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ =

                                                                                                  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Så nu hedder den altså:

xo^3 + 3xo^2•Δx + 3xo•Δx^2 + Δx^3-x^3

-------------------------------------------------------

                               Δx

Hvordan kommer jeg så videre herfra?

                                     (x_o+Δx)³ - x_o³     x_o³ + 3x_o²•Δx + 3x_o•(Δx)² + (Δx)³ - x_o³     (3x_o² + 3x_o•Δx + (Δx)²)•Δx
                                      ----------------  =  -------------------------------------------- =   ------------------------------- =
                                               Δx                                         Δx                                                Δx

                                      3x_o² + 3x_o•(Δx + (Δx)²

      limes   3x_o² + 3x_o•(Δx + (Δx)² = (x_o³) ' = 3x_o² + 3x_o•0 + 0² = 3x_o^{2
      Δx → 0}

Hej alle! 

Kæmpe tak for hjælpen, virkelig dejligt at se i altid er til rådighed! 

I har reddet min fremlæggelse i morgen xD 

Hav en fortsat god aften :)

Alternativt

(x₀ + Δx)³ - x₀³ = (x₀ + Δx - x₀)·((x₀+Δx)² + (x₀+Δx)·x₀ + x₀²)

                           = Δx·((x₀+Δx)² + (x₀+Δx)·x₀ + x₀²) ,

så

( (x₀ + Δx)³ - x₀³ ) / Δx = (x₀+Δx)² + (x₀+Δx)·x₀ + x₀² → x₀² + x₀·x₀ + x₀² = 3·x₀² , for Δx → 0 .

#12's

udnyttelse af
                                                       _n-1
                              xⁿ - yⁿ = (x-y) •  ∑  x^n-1•(x^-1•y)^{i
                                                       i=0}

          er overbliksmæssigt ELEGANT