Linjens ligning (normalvektor/retningsvektor)

Af linjens ligning
       a•(x - x_o) + b•(y - y_o) = 0
aflæses en normalvektor til linjen
       n = [a, b]
og en retningsvektor til linjen kan findes 
       r = [b, -a],

og her til sidst kan en parameterfremstilling for linjen skrives op

        [x, y] = [x_o, y_o] + t•[b, -a] , t ∈ R

2D

når
          n = [a,b] er en normalvektor for linjen i (x_o,y_o)
er
          r = [b,-a] én - blandt mange - retningsvektor(er) for linjen gennem (x_o,y_o)

hvoraf
                OP = OP_o + t•r

                [x,y] = [x_o,y_o] + t•[b,-a]     t ∈ R

                           x = x_o + t·b
                           y = y_o - t·a       

Men konstrueres retningvektorer og normalvektorer altid i positiv omløbsretning?
Hvis jeg veksler mellem de to former for ligningsfremstilling, får jeg da ikke samme retningsvektor?

Hvis jeg har en parameterfremstilling og konstruerer en normalvektor udfra, så jeg kan opskrive på formen a•(x - xo) + b•(y - yo) = 0, og da gerne vil opskrive en parameterfremstilling igen, peger retningsvektoren den modsatte vej, end den indledningsvise retningsvektor, ikke?

  ...hvilket ikke betyder noget, da  t ∈ R og den tilsvarende koordinat blot fås med den tilsvarende negative
     t-værdi.

  når r = [b,-a] er en retningsvektor for linjen, er n = [a,b] en normalvektor.

I øvrigt:
               En normalvektor på formen n₁ = [-a,-b] er fuldt så god som n = [a,b], men den sidste er lidt mere
               bekvem at notere, hvorfor den oftest foretrækkes.

Betyder det så at min forklaring i det vedhæftede billede holder?
 

Ah, okay. Så det vil sige at en retningsvektor går i begge retninger, altså både i positiv og negativ retning?

Jeg troede faktisk at det var relativt vigtigt i hvilken retning en vektor peger?

                                                                                                                                             _∧   
 hvis du har en retningsvektor r = [a, b] for en linje, vil en normalvektor for linjen være n = r = [-b, a]

???

           "...at det er vigtigt i hvilken retning en vektor peger" er selvfølgelig rigtigt!

           Men specifikt for den rette linjes analytiske fremstilling er retningsvektorens orientering underordnet.

                  Det betyder blot med samme fikspunkt:

                                         at et givet punkt
                                                                         med den ene retningsvektor opnås med parameterværdien t

                                                                         med den anden retningsvektor opnås med parameterværdien -t

                            med den anden retningsvektor opnås med parameterværdien -t

forbedres til

                            med den modsatte retningsvektor opnås med parameterværdien -t