Kontinuitet

Jeg tænker umiddelbart, at det ser fint ud det du har gang i. Hvis epsilon sættes lig f.eks. 0.5 da er der ikke nogen måde at få numerisk f(x) - f(0) mindre end epsilon medmindre du vælger x=0, men da delta skal være stengt større end 0 går det ikke...(udsagnet du kommer frem til skal gælde for alle x i D_f, numerisktegn på x kan derfor også fjernes, samme med f(x) da den kun kan være 0 eller 1)

Alternativ kan du vel tage en følge {y_n} der er strengt aftagende med grænse i 0. Da den er strengt aftagende er alle følgens elementer større end 0, hvorfor f({y_n}) bliver en konstantfølge {1}_n, der altså har grænse 1, dvs. lim f({y_n})=1. Men f(x), hvor x=lim{y_n} er f(0)=0, hvorfor lim f({y_n}) er forskellig fra f(lim{y_n})...ergo er funktionen ikke kontinuert...

Jeg sidder selv og bakser med lidt analyse 1 så jeg jeg er ikke helt stiv i dette, men det er mine umiddelbare tanker.

Jeg tror bare, at jeg ikke behøver at bruge ε-δ argumentation, når det ikke er min stærke side. Er det ikke nok for mig at sige, at f(x) ikke er kontinuert i 0, da lim_x→0f(x) ikke eksisterer, (og selvom f(x) er kontinuert i 1) er f(x) derfor ikke kontinuert?

Jeg ville umiddelbart sige at i dette tilfælde er argumentet "f(x) ikke er kontinuert i 0, da limx→0f(x) ikke eksisterer" utilstrækkeligt fordi grunden til, at grænsen ikke eksisterer er fordi funktionen kun er defineret på den ene side at 0 dvs. x over og lig 0. Derfor er du nødt til at se på hvad der sker for .

Det er klart at f(x) er kontinuert hvor den er 1 så det interessante er hvor den går fra at være 1 til at være 0...  For at f(x) skal være kontinuert i 0 skal det for et hvilket som helst epsilon...f.eks. 0.5 gælde at, hvis x blot er valgt tæt nok på 0 dvs. så skal afstanden mellem f(x) og f(0) være mindre end epsilon. Men det kan du jo tydeligevis ikke garantere, eftersom afstanden mellem f(x) og f(0) bliver 1 for de x der opfylder betingelsen (dog pånær x_0 selv).

#1

Man siger ikke at f ikke er kontinuert men antager den er kontinuert, hvorfor konditionalet du opstiller i #1 skal gælde..

Der spørges om grænsefunktionen. Denne er som korrekt angivet i #0 givet ved at f(0) = 0 og f(x) = 1 for x > 0. Denne er klart diskontinuert i 0. Jeg kan ikke se at der er grund til at bruge ε-δ argumentation her; men det gør selvfølgelig ikke noget hvis du bruger det. Til gengæld skal du bevise hvad grænsefunktionen er.

#0 Hvis du vil bruge ε-δ-metoden så skal du negere udtrykket for kontinuitet ... med f:[0,∞[→R defineret som ovenfor er 

f kontinueret i x=0 hviss ∀ε>0∃δ>0∀x≥0:|x|<δ⇒|f(x)|<ε

dvs.

f er diskontinuert i x=0 hviss ∃ε>0∀δ>0∃x≥0:|f(x)|<ε⇒|x|<δ

... med x=0 er dette jo opfyldt .. faktisk for et hvert ε>0.