andengradsligning med Sinus

Det er forkert, hvilket du kan se ved at sætte det ind i ligningen. En anden måde at se det på er ved at det midterste led bliver proportional med kvrod(3). Dette kan ikke gå ud mod noget i de 2 andre led.

Jeg kan ikke af det du skriver se hvad du har gjort galt.

Tip den ene løsning er sin(x)=½

Ligningen er muligvis

(sin(x))² -((1+√2)/2)·sin(x) + (√2)/4 = 0 .

der er en 2,-gradsligning i z = sin(x) . Ligningens diskriminant er

d = (-((1+√2)/2))² -4·1·(√2)/4 = (1+2 + 2√2)/4 - √2 = 3/4 - (√2)/2 > 0 .

Det giver de to rødder

sin(x) = (√2)/2 ∨ sin(x) = 1/2 .

Løs nu disse ligninger hver for sig

Ligningen kan løses nemt hvis man går ud fra, at det er rimelige pæne løsninger.

Da summen af rødderner er koefficienten til sin(x) med modsat fortegn giver det kun muligheden som angivet i #2. Så kan man lige kontrollere med at produktet af rødderne er konstantleddet

Opgaven er som den står i toppen. Kan bare ikke genkende regne metoderne når man kører med kvadrat tegnet over en brøk. Det er jo også 15 år siden jeg brugte det...

#4

Ligningen 

(sin(x))² -((1+√2)/2)·sin(x) + (√2)/4 = 0

er en normeret 2.-gradsligning i z = sin(x) . Om de to rødder z₁ og z₂ gælder der derfor, at

z₁ + z₂ = (1+√2)/2 , og

z₁ · z₂ = (√2)/4 .

Man ser, at 

(1+√2)/2 = (1/2) + (√2)/2 ,

og at 

(1/2) · (√2)/2 = (√2)/4 .

Derfor er 

z₁ = (1/2)   og   z₂ = (√2)/2 

de to rødder i 2.-gradsligningen.

- og løsningerne på opgaven bliver således

x = 30, 45, 135 og 150 grader

+ 2pπ

…nu bør vinkelmålene ikke blandes sammen

                 sin(x) = sin(x_o + p•2π) = sin((π-x_o) + p•2π)      p∈Z

                 x_o = sin^-1(1/2) = (π/6)      π - x_o = π - (π/6) = (5π/6)
dvs
                 x = (π/6) + p•2π     v     x = (5π/6) + p•2π
 

og

                 x_o = sin^-1(√(2)/2) = (π/4)      π - x_o = π - (π/4) = (3π/4)
dvs
                 x = (π/4) + p•2π     v     x = (3π/4) + p•2π

samlet

               x = (π/6) + p•2π     v     x = (5π/6) + p•2π      v      x = (π/4) + p•2π     v     x = (3π/4) + p•2π