Trigonometri

Vinkelhalveringslinjen vA:den vinkel, der deler Vinkel A i 2 lige store vinkler, er 4 cm lang. Ved ikke om det er til nogen hjælp.

Du mener sikkert, at vinkel C er ret. Vinkelhalveringslinien v_A deler vinkel A i to lige store vinkler. Lav en tegning og få overblik. Vinkelhalveringslinien v_A deler den store retvinklede trekant ABC i to trekanter, hvoraf den ene igen er retvinklet. I den mindre retvinklede trekant kender man den ene katete b = 3, og hypotenusen v_A = 4 . Benyt dette til at bestemme vinklen A/2 , og fortsæt så til de øvrige ubekendte stykker i trekant ABC.

                            cos(A/2) = (b/v_A) = (3/4)

                            cos(A) = 2•cos²(a/2) - 1 = 2 • (3/4)² - (16/16) = (18/16) - (16/16) = (2/16) = (1/8) = 8^-1

                            A = cos^-1(8^-1) = 82,82º

1# Tjek din indbakke

                            tan(A) = a/b
                            √((1/cos²(A)) - 1) = a/3

                            a = 3 • √((1/cos²(A)) - 1) = 3 • √((16/9) - (9/9)) = 3 • √(7/9) = 2,65

                            c² = a² + b² = (3 • √(7/9))² + 3² = 9•(7/9) + 9 = 7 + 9 = 16

                            c = √(16) = 4

.

                            B = 90º - 82,82º = 7,18º

......................

benyttet er:

       cos(x) = 2cos²(x/2) - 1

      1/cos²(x) = 1 + tan²(x) ⇔ tan(x) = ±√((1/cos²(x)) - 1)  dvs   √((1/cos²(x)) - 1)   da x er spids

Skitse vedhæftet

:-)

Resultaterne i #3 og #6 er korrekte, men i #5 har mathon benyttet værdien for cos(A/2) som om det var værdien for cos(A), og de beregnede værdier for sidelængderne a og c bliver derfor ikke korrekte.

Idet b = 3, og cos(A) = 1/8 (som vist i #3), fås da

cos(A) = b / c , og dermed

c = b / cos(A) = 3 / (1/8) = 3·8 = 24 ,

og endelig

a = √(c² - b²) = √(576 - 9) = √567 ≈ 23,81 .

#5 korrigeret for en søvnig ombytning
hurtigt bemærket og venligt påpeget af altid årvågne Andersen11 i #7
 

                            tan(A) = a/b
                            √((1/cos²(A)) - 1) = a/3             1/cos²(A) = (cos(A))^-2 = (8^-1)^-2 = 8² = 64

                            a = 3 • √(64 - 1) = 3√(63) = 3•√(3²•7) = 9√(7) ≈  23,81

                            c² = a² + b² = (3√(63))² + 3² = 9•63 + 9 = 64 • 9 = 8²•3² = (8•3)² = 24²

                            c = √(24²) = 24

.

                            B = 90º - 82,82º = 7,18º

......................

benyttet er:

       cos(x) = 2cos²(x/2) - 1

      1/cos²(x) = 1 + tan²(x) ⇔ tan(x) = ±√((1/cos²(x)) - 1)  dvs   √((1/cos²(x)) - 1)   da x er spids

alternativ kontrolberegning af c

              sin(A) = √(1-(cos(A))²) = √(1-((1/8))²) = √((64/64)-(1/64)) = (1/8)•√(63)

      c = b•cos(A) + a•cos(B) = b•cos(A) + a•sin(A) = 3•(1/8) + 3√(63)•(1/8)•√(63) = (3/8)•(1+63) = 24

alternativ kontrolberegning af a, når c er beregnet:

Vinkelhalveringslinjens skæring med BC kaldes D
og
         |CD| = x = √(v_A²- b²) = √(16-9) = √(7)        |BD| = y        

Fra folkeskolens geometripensum
haves:
               En trekants vinkelhalveringslinje deler den vinklen modstående side i to stykker,
               som er proportionale med de respektive sider, der indeslutter vinklen.

som i anvendelse giver

                                        y/x = c/b = 24/3 = 8

                                        y = 8 • x =  8 • √(7) = 8√(7)         

                                       a = |CD| +  |BD| = x + y = √(7)  + 8√(7) = 9√(7)