Komplekse ligninger

Sammenlign absolutværdi og argument på begge sider af lighedstegnet i e^z = √3 + i.

Venstre side:

Absolutværdi: |e^z| = |e^x+iy| = |e^xe^iy| = |e^x|·|e^iy| = e^x.

Argument: arg(e^z) = arg(e^x+iy) = y

Højre side:

Absolutværdi: |√3 + i| = √(√3² + 1²) = √4 = 2

Argument: sinv = y/|z| = 1/2 <=> v = arg(√3 + i) = arcsin(1/2) = π/6 + 2πn, for n ∈ Z

Sammenlign:

Absolutværdi: e^x = 2 ⇔ x = ln2

Argument: y = π/6 + 2πn, for n ∈ Z

Løsning:

z = x + i·y = ln2 + i·(π/6 + 2πn), for n ∈ Z