Matematik
kompleks analyse: vise funktion lig uendelig række
Hej jeg har problemer med følgende opgave:
Antag vi har en holomorf funktion f:C\( (1 ± sqrt(3) i)/2) --> C givet ved (komplekse tal C):
f(z)=(1-z+z^2)^(-1)
Vis at f(z)=Σn=0∞anzn for |z| < 1.
og at a0=a1=1 , a2=0 og an+3= -an
Hintet i opgaven er at bruge: 1=(1-z+z^2)*Σanzn og at bruge "identitets theoremet for potens rækker".
(altså hvis f(z)=Σanzn og g(z)=Σbnzn med f(z)=g(z). Så er an=bn for alle n.)
Jeg er ikke sikker på jeg griber opgaven rigtigt an. Jeg har prøvet at differentiere ligningen i hintet 2 gange og sat dem lig hinanden for at vise an+3=-an. Men det har ikke umildbart givet noget. jeg har også prøvet at vise (gennem flere formler) at da an=f(n)(z0)/n!. Skal jeg så blot vise: f(n)(z0)/n! = f(n+3)(z0)/(n+3)!. Men dette giver heller ikke umildbart noget jeg synes jeg kan bruge.
Svar #1
23. september 2013 af peter lind
Du skal nok snarere gange ind i summen
1*∑an*zn = a0+a1*z + a2*z2 + a3*z3 ---- an+2 zn+2
-z*∑an*zn = -a0*z - a1*z2 - a2*z3 - ----- -an+1zn+2
z2*∑an*zn = a0*z2 + a1*z3 ----- +anzn+2
Ved at lægge rækkerne sammen og konstaterer at deres sum skal blive 1 Jeg kan dog ikke få det til at stemme med din påstand an+3 = -an. Har du skrevet det korrekt op ?
Svar #2
23. september 2013 af peter lind
Man får ikke rent umiddelbart at an+3 = -an; men en videre regning giver faktisk det resultat
Skriv et svar til: kompleks analyse: vise funktion lig uendelig række
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.