grænse af simple funktioner

I har måske set, at enhver målbar funktion kan skrives som en grænse af simple funktioner. Beviset for dette i min bog, er det samme som i nedenstående link:
http://www.proofwiki.org/wiki/Measurable_Function_Pointwise_Limit_of_Simple_Functions
Mit problem er bare: Jeg kan ikke se, at målbarheden af grænsefunktionen bruges afgørende. Er det virkelig nødvendigt, at den er målbar, og hvor bruges det i så fald?