bevis, sikker eller relativ??

Hmm - et direkte bevis?

I et direkte bevis ved man, at hvis a gælder, så gælder b også. Herefter viser man at a gælder, og kan dermed slutte b.

Prøv at uddybe lidt.

Hvis du har den bog, der vist nok hedder B1 fra Gyldendals forlag, så står det ret godt beskrevet.

Rettelse: Den hedderGyldendals Gymnasiematematik, og den type bevis, du taler om, hedder "Type 3" - de andre hedder "Direkte Bevis" (Pythagoras, fx) og "Indirekte Bevis" (kvadratroden af 2 er irrationel), + nogle andre, vi endnu ikke har haft om.

Type 3:
"Hvis A, så B"
"Hvis ikke A, så ikke B"

#2- det har jeg ikke :S

#1- jeg tænker bare at der i virkeligheden må være undtagelser..

hvad vil I mene??

opdatering af emne :)

Spørgsmål:

"HVIS A SÅ B"
fører ovenstående måde for bevisførsel til en relativ sandhed eller en absolut sikker sandhed?

eget bud:
Er lidt forvirret da jeg vil tro, at alle matematiske sætninger er stensikre. MEN mon ikke der kunne være undtagelser hvis man udførte dem i virkeligheden?

håber nogen vil hjælpe mig med at komme over på det rette spor :)

#4:
Således som det udlægges i det første indlæg, er der reelt ikke tale om en bestemt type bevis, men ganske enkelt en implikation

A => B

mellem to matematiske udsagn, A og B; sprogligt udtrykt "hvis A så B" eller "A implicerer (medfører) B". Det centrale indhold i en matematisk sætning kan så godt som altid formuleres som en implikation. Alt afhængigt af det nærmere indhold af sætningen, kan en bestemt bevistype vise sig mere bekvem end andre.

Man skelner mellem forskellige typer af beviser; lad mig blot knytte nogle bemærkninger dertil.

DIREKTE BEVIS
Ved et direkte bevis for A => B forstås et bevis, hvori man antager, at udsagnet A er sandt og _under brug af denne antagelse_ udleder, at B er sandt.

BEVIS VED KONTRAPONERING
Ved et bevis ved kontraponering for A => B forstår man et bevis for

¬B => ¬A

Overvej, at dette siger præcis det samme som A => B, altså at

"hvis ikke B, så ikke A"

er ensbetydende med "hvis A, så B". Et simpelt eksempel herpå kunne være

"Hvis n er et naturligt tal og n^2 er lige, så er n lige."

Påstanden 'n^2 lige => n lige' kan netop vises ved kontraponering, dvs. ved at vise, at

n ulige => n^2 ulige

Prøv det eventuelt; husk, at et ulige naturligt tal kan skrives n = 2k - 1, hvor k >= 1 er et naturligt tal.

INDIREKTE BEVIS (syn: modstridsbevis)
Ved et indirekte bevis for en påstand P forstås et bevis, hvori man antager ¬P og undersøger de logiske konsekvenser heraf, i håb om at nå til en modstrid. Hvis det lykkes, har man vist, at

¬P => S

hvor S er et udsagn, som vides at være falsk. Men, som bemærket ovenfor, betyder det netop, at

¬S => P (idet ¬(¬P) = P)

og da ¬S er sandt, er også P sand. Et velkendt eksempel på et indirekte bevis er beviset for, at kvadratrod 2 er et irrationalt tal, altså påstanden

P: sqrt(2) E R\\Q

I beviset antager man ganske enkelt, at sqrt(2) er et _rationalt_ tal,

¬P: sqrt(2) E Q

og når dernæst via logiske ræsonnementer frem til en modstrid.

Naturligvis kan ovenstående slet ikke gøre det ud for en tilstrækkelig omfattende behandling af matematiske udsagn og bevistyper. Men prøv at tænke det igennem.

//Epsilon

Kan anbefale bogen Q.E.D af Jørgen Brandt for en masse uddybning om det matematiske bevis.

Ellers mener jeg også at bruger michael.padowan.dk har uploadet en god opgave om de forskellige bevistyper med eksempler.

#5:
""HVIS A SÅ B"
fører ovenstående måde for bevisførsel til en relativ sandhed eller en absolut sikker sandhed?"

Hvis du kan bevise af a medføre b, og af a er sand, må b nødvendigvis også være sand. Problemet er, at for at bevise a, må du gå du fra at nogle andre påstande er sande. I f. eks. geometri er du derfor nødt til at starte med nogle mållinger som jo ikke kan være en absolut sandhed. Man kan f. eks. ikke vide om vinkelsummen i en trekant er præcis 180 grader, eller bare ca. 180.

Det kommer jo an på om du bevæger dig inden for matematikkens snævre område, eller tænker på verden mere generelt. I matematik kan du jo godt slutte "hvis n er lige, så er n^2 lige" og være fuldstændig sikker på at det gælder for alle n, ligesom du kan sige "hvis n er ulige, så er n^2 lige" og være helt sikker på det altid er falskt.

Går vi ud i den virkelige verden, derimod, kan du ikke være helt sikker på f.eks. "Hvis jeg taber denne bold, så ryger den på jorden" eller "hvis Solen står op, så bliver det lyst". Det kalder vi en induktiv slutning - "fordi bolden plejer at falde på jorden når jeg taber den, og jeg nu taber bolden, må den falde til jorden" - om vi kan som sådan ikke bevise at del altid vil være rigtig.