Matematik
bevis (Diff. ligning)
Sætning 11
Differientialligningen:
y' = b-ay, a ≠ 0
har den fuldstændige løsning:
y(t)= b/a + ce-at
hvor c er et tal.
1) vi antager nu, at funktionen y = y(t) er en løsning, dvs. y' = b-ay. Vi skal så vise, at y(t) kan skrives på formen y(t) = b/a + ce-at.
Vi ser på hjælpefunktionen z = z(t) = b-ay(t). Vi finder differentialkvotienten for denne funktion:
z' = -ay' = -a(b-ay) = -az
Hvor vi har benyttet, at y(t) er en løsning. Vi får så:
z(t)=c1e-at ⇔ b-ay(t) = c1e-at ⇔ b/a - (c1/a) · e-at = y(t) ⇔ b/a + ce-at = y(t)
Dermed er sætningen bevist.
Nogen der kan forklare hvad der sker i den sidste del, forstår det ikke helt selv. Og bogen forklarer det ikke.
På forhånd tak :-)!
Svar #1
10. oktober 2013 af Andersen11 (Slettet)
Man benytter, at man kender den fuldstændige løsning til differentialligningen z' = -az, der er
z(t) = c1·e-at .
Da a(t) = b - a·y(t) , har man så
b - a·y(t) = c1·e-at ,
og så isolerer man sig frem til y(t):
y(t) = (b - c1·e-at ) / a = (b/a) + c·e-at ,
hvor man lader -c1/a være den arbitrære konstant c .
Skriv et svar til: bevis (Diff. ligning)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.