Kombination af 2.gradsligning

# 0
(I)    y  =  (5 - 3x) / 4     indsættes i  (II) :

4x² + [(5 - 3x) / 4]² + 4x·[(5 - 3x) / 4] - 12x - 6·[(5 - 3x) / 4] + 5  =  0

(I)  x og y ∈ R

(II)  giver, indenfor de reelle tal, mening, når
y² + (4x - 6)y + (4x² - 12x + 5)  =  0           og
diskriminanten  (4x - 6)² - 4·1·(4x² - 12x + 5) ≥ 0

LGrundmængderne er i alle tilfælde R². Alle værdier af x og y giver et lovligt udtryk

SuneChr:

Ja! Har løst til og med 4x2 + [(5 - 3x) / 4]2 + 4x·[(5 - 3x) / 4] - 12x - 6·[(5 - 3x) / 4] + 5  =  0

G = R er jeg også med på.

Jeg ved dog ikke helt, hvad jeg skal gøre så efterfølgende? Jeg har bare regnet alle brøkerne ud og lagt sammen/trukket fra.

Kan du mon uddybe:

(II)  giver, indenfor de reelle tal, mening, når
y2 + (4x - 6)y + (4x2 - 12x + 5)  =  0           og
diskriminanten  (4x - 6)2 - 4·1·(4x2 - 12x + 5) ≥ 0

(II)  er skrevet som en 2.gr. ligning i y .
Det ses, ved udregning, at diskriminanten altid er positiv.
Der er derfor altid to forskellige rødder, i y ,  uanset hvilket x vi vælger.
 

Se, om du skulle få løsningerne, som passer både i (I) og (II) :

(x ; y)  =  (- 0,2 ; 1,4)  og  (3 ; - 1)

Ved grundmængden for en ligning forstås mængden af de tal, hvorfra ligningens løsninger skal søges. Venstresiderne for de to ligninger kan beregnes for alle reelle talsæt (x,y), så grundmængden for ligningerne er R² .

Ligningssystemet er

(I):   3x + 4y = 5 ,
(II): 4x² + y² + 4xy -12x - 6y + 5 = 0 .

Ligning (II) omskriver vi til

(II):   (2x+y)² - 6·(2x+y) + 5 = 0 , 

der er en 2.-gradsligning i (2x+y) og let faktoriseres til

(2x+y-1)·(2x+y-5) = 0 .

Ved hjælp af nulreglen spaltes det oprindelige ligningssystem derfor i de to lineære ligningssystemer:

(I):   3x + 4y = 5
(IIa): 2x + y = 1 , eller

(I):   3x + 4y = 5
(IIb): 2x + y = 5

med løsningerne

(x ; y) = (-1/5 ; 7/5) , hhv. (x ; y) = (3 ; -1) .

Aha, nu forstår jeg. Jeg vidste ikke, at man kunne stille ligning II op som en 2.-gradsligning i y (det var smart af dig at splitte x og y op ved at lave det op til en parantes).

Når du så har diskriminanten, så er der x'er inkluderet - det har jeg ikke været udsat for før. Hvad gør du så?

Og hvordan hænger det hele sammen med: 4x2 + [(5 - 3x) / 4]2 + 4x·[(5 - 3x) / 4] - 12x - 6·[(5 - 3x) / 4] + 5  =  0 ?

Og svaret er rigtigt! :)

#7

Ligning (II) er en 2.-gradsligning i (2x+y) . Sætter man z = (2x+y) , kan man skrive ligning (II)

z² -6z +5 = 0 ,

der kan faktoriseres

(z-1)·(z-5) = 0 ,

eller rødderne kan beregnes ved at beregne diskriminant og indsætte i rodformlen.

#6
 

Hmm, forstår ikke helt:

der er en 2.-gradsligning i (2x+y) og let faktoriseres til

(2x+y-1)·(2x+y-5) = 0 .

Hvorfor og hvordan gør du det?

#10

Se forklaringen i #9. 

Ved at betragte ligning (II) som en 2.-gradsligning i (2x+y) , får man den spaltet i to lineære ligninger, der let løses sammen med den oprindelige ligning (I) .

Okay, så det, I gør, er altså at skrive ligning (II) om til en 2.gradsligning i y - så I herefter kan finde diskriminanten.

Har jeg forstået det ret så langt?

#12

Nej. Ligning (II) er en 2.-gradsligning i (2x+y) som så løses, se #6 og #9.

Nårh!

Så:

a = 1 ; b = -6 ; c = 5

Er dette korrekt?

#14

Ja, det er da korrekt. Men ligningen er pænt faktoriseret i #6 og #9, så man kan aflæse rødderne direkte.

Arh. Jeg tror, jeg forstår det lidt bedre nu.

Så du bruger altså 0-reglen, og derfor får du slet ikke brug for:  a = 1 ; b = -6 ; c = 5 og formlen:

Til løsning af 2.gradsligninger.

Har jeg ret?

#16

Ja, det er korrekt.

Du skriver:

der kan faktoriseres

(z-1)·(z-5) = 0 ,

eller rødderne kan beregnes ved at beregne diskriminant og indsætte i rodformlen.

Vil det sige, at du mener, at:

Jeg kan enten bruge 0-reglen.

Eller jeg kan indsætte i rodformlen:

Hvor jeg så siger a = 1 ; b = -6 ; c = 5 ?

#18

Ja. Man kan altid beregne diskriminanten og derefter indsætte i rodformlen. men hvis man kan faktorisere ligningen som det er tilfældet med  

(z-1)·(z-5) = 0

kan man benytte nulreglen og så direkte aflæse rødderne z = 1 eller z = 5 .

#19

Jeg forstår bare ikke, for når jeg sætter a = 1 ; b = -6 ; c = 5 ind i rodformlen, så får jeg forkert facit. Hvordan kan det være?