Matematik
2 opgaver!
Er der nogen som kan hjælpe mig med disse to opgaver:
opgave 1)
I rummet er givet et koordinatsystem. En linie l går igennem punkterne A(1,1,2) og B(5,1,0). En line m går igennem punkterne C(1,1,1) og D(3,02).
Gør rede for at linierne l og m er vindskæve og bestem afstanden mellem dem.
opgave 2)
Figuren viser et bræt hvis sider er plane og parallelle to og to. brættet er indtegnet i et koordinatsystem med begyndelsespunktet O. En af siderne ligger i xz-planen og en anden af siderne ligger i yz-planen.
Der lægges et skrå snit i brættet. snittet er bestemt ved den plan alfa der indeholder punkterne A(0,0,4), B(1,03) og C(1,5,0).
Snitfladen mellem planen alfa og brættet er et parallelogram ABCD
Bestem en ligning for planen alfa.
bestem den spidse vinkel mellem alfa og xy-planen.
Bestem koordinatsættet til punktet D.
Bestem snitfladens areal.
bestem vinklerne i snitfladen.
Løsning
Opgave 1)
?
Opgave 2)
a)
5x+3y+5z-20=0
b)
?
c)
D(0,5,1)
d)
sqrt(59)
e)
så ved jeg ikke hvordan jeg kan finde vinklerne.
Svar #1
05. november 2005 af ET (Slettet)
beregn parameterfremstillingen for hver linje. Hvis to linjers retningsvektorer er paralelle er linjerne også paralelle.
Altså hvis der gælder, at r1=r2*k er disse linjer paralle.
Der findes en formel til at bestemme afstanden mellem 2 linjer.
2)b
vinklen mellem 2 flader bestemmes ved at bestemme vinklen mellem planernes normalvektorer, som normal vektor for xy-planen kan bruges N=(0 0 1)
vinklerne kan beregnes som vinklen mellem AD,AB
Svar #4
05. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
er ikke helt med fordi man skal vise at linierne er vindskæve.
og derefter beregne afstanden mellem dem.
opgave 2)
Ups!
Tak for det
men der skulle have stået
bestem den spidse vinkel mellem alfa og yz-planen
Hvad kan normalvektoren så være:
du siger:
"vinklerne kan beregnes som vinklen mellem AD,AB"
Finder man så vinkel A?
hvis ja kan man så finde vinkel B ved at beregne vinklen mellem BA og BC
Svar #5
05. november 2005 af Deschain (Slettet)
hvis linierne ikke er parallelle er de vindskæve så du skal bare vise at de ikke er parallele...
afstanden mellem to linier:
bestem en parameterfremstilling for de to linier L1 og L2.
find så krydsproduktet af de to retningsvektorer (denne vektor kaldes herefter N).
find så vektoren mellem P1 som er et punkt på L1 og P2 som er et punkt på L2 (denne vektor kaldes herefter P1P2).
find så afstanden mellem linierne ved at dele den numeriske værdi af skalarproduktet af P1P2 og N med længden af N, altså:
dist(L1,L2)=|P1P2*N|/|N|
Svar #6
06. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
Opgave 2) er jeg færdig med
opgave 1)
Gør rede for at linierne l og m er vindskæve og bestem afstanden mellem dem.
afstanden fik jeg til 2/21*sqrt(21)
men kan man bruge det argument i #5 ”hvis linierne ikke er parallelle er de vindskæve så du skal bare vise at de ikke er parallele”
Hvis de ikke er parallelle kan de så ikke skærer hinanden.
så jeg er lidt i tvivl om hvordan man kan vise det:
parameter fremstillingen for l og m er:
l:
(x,y,z)= A+ t*AB =>
(x,y,z) = (1,1,2)+t*(4,0,-2)
m:
(x,y,z)= C+ t*CD =>
(x,y,z) = (1,1,1)+t*(2,-1,1)
er der nogen som har et godt forslag:
Svar #7
06. november 2005 af Epsilon (Slettet)
Din undren er berettiget; vi tager lige definitionen:
VINDSKÆVE LINJER
To linjer i rummet kaldes vindskæve, hvis de _ikke_ kan indeholdes i én plan.
Vindskæve linjer skærer altså ikke hinanden, men er ej heller parallelle (parallelle rumlinjer ligger per definition i samme plan).
Med andre ord er det en nødvendig, men _ikke_ en tilstrækkelig, betingelse for vindskæve linjer, at de ikke er parallelle. Der findes utallige eksempler på ikke-parallelle rumlinjer, som ikke er vindskæve (koordinatakserne eksempelvis).
Eftervis derfor, at de to linjer i opgaven hverken er parallelle eller skærer hinanden.
Husk at benytte forskellige parametre (fx s hhv. t) i linjernes parameterfremstillinger.
//Epsilon
Svar #8
06. november 2005 af Liv2004 (Slettet)
l(t) = (1,1,2)+t*(4,0,-2)
m(s) = (1,1,1)+s*(2,-1,1)
Vi kan se at de ikke er parallelle da deres retningsvektorer ikke er ens.
skæringspunktet.
Så ved jeg ikke hvordan man kan vise at der ikke er noget skæringspunkt.
Svar #9
07. november 2005 af Epsilon (Slettet)
"Vi kan se at de ikke er parallelle da deres retningsvektorer ikke er ens."
Forkert argument; til eksempel er vektorerne (1,0,0) og (2,0,0) forskellige, men alligevel parallelle.
Hvis vektorerne (4,0,-2) og (2,-1,1) skulle være parallelle, ville der per definition findes en skalar (et tal) c, så
(4,0,-2) = c(2,-1,1)
Men dette ses umiddelbart at være umuligt, og derfor er linjerne ikke parallelle.
Lad os antage, at l og m _har_ et skæringspunkt. Med andre ord findes da en løsning (s,t) til ligningssystemet
1 + 4t = 1 + 2s
1 = 1 - s
2 - 2t = 1 + s
Vi har blot skrevet koordinaterne fra de to parameterfremstillinger ud.
Vis nu, at systemet ingen løsning har; dette giver en modstrid. Altså skærer linjerne ikke hinanden, og da de ej heller er parallelle, må de derfor være vindskæve.
//Epsilon
Skriv et svar til: 2 opgaver!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.