Ækvivalensrelationee

Du skal bevise at (a, b) ækv (c, d) => (c, d) ækv. (a,b) og

(a, b) ækv. (c,d) ∧ (c, d) ækv. (e, f)  => (a, b) ækv. (e, f)

Så der hvor der står "Definer relationen ...", er en del af teksten forhinde selve opgaven?
Og hvad med at give en beskrivelse af  Q / "bølgen" 

Jeg forstår heller ikke hvordan man så får (2,3) ind i det du skriver. 

#2

Man definerer relationen som angivet i opgaven og skal så vise, at ~ er en ækvivalensrelation.

Mængden Q/~ er mængden af restklasser der induceres af denne ækvivalensrelation.

Ækvivalensklassen [(2,3)] er den klasse, der indeholder (2,3) .

Men er den ikke allerede difineret i opgaven som (a,b)~(c,d) <=> ad=bc

#5

Jo, det er jo det, der står i opgaven.

Jeg er bare helt fortabt. Hvor kommer (e,f) ind i det?

Og hvordan gør jeg så det?

#7

Man skal (bl.a.) vise, at hvis talparret (a,b) er ækvivalent med talparret (c,d), og talparret (c,d) er ækvivalent med talparret (e,f), så er talparret (a,b) ækvivalent med talparret (e,f) . Det skrives kortere

(a, b) ~ (c,d) ∧ (c, d) ~ (e, f)  => (a, b) ~ (e, f)

(e,f) kommer ind i billedet fordi en ækvivalensrelation skal opfylde sådan en forbindelse

Skriv definitionen for de 2 ævivalensrelationer op og gang de fremkomne ligninger med hinanden

Det er altså ikke det der står i opgaven, 

der står  (a,b)~(c,d) <=> ad=bc

#10

Ja, det er definitionen på relationen. Det er definitionen på, at to elementer (a,b) og (c,d) i mængden Q er ækvivalente. For at vise, at relationen er en ækvivalensrelation skal man vise, at den er a) refleksiv, b) symmetrisk, og c) transitiv. I #1 har Peter Lind givet definitionerne for de symmetriske og transitive egenskaber.

Mange tak, dit svar har hjulpet en hel del. Prøver lige at kigge lidt på det og se om jeg kan komme frem til et svar på den opgave. 

#12

Du har måske gættet, at det er sådan man konstruerer mængden af de rationale tal Q ud fra mængden af de hele tal Z .

#11

Hvis man skal vise, at den er refleksiv, skal man da vise, af def. at ∀(a,b) ∈Q: (a,b) ~ (a,b) ?

#14

Ja, netop.

#15

Ok, thanks. Det giver mening for mig. Hvad menes der om at bestemme ævivalensklassen [(2,3)] ? Altså hvordan gør man det? Ud fra opgaven, er der defineret for Q ved (a,b) ~ (c,d) ⇔ ad = bc, så må [(2,3)] = {2/3}?

#16

Ækvivalensklassen [(2,3)] er den klasse, der indeholder elementet (2,3). For ethvert element (a,b) i denne klasse gælder der, at (a,b) ~ (2,3), dvs 3a = 2b . Der gælder altså

[(2,3)] = { (a,b) ∈ Z×Z | b ≠ 0 ∧ 3a = 2b }

#17

Hvis jeg har forstået dig korrkt; er det muligt at skrive generelt ækv.klassen [(a,b)], at

[(a,b)] = { (a,b), (c,d) ∈ Z×Z | b ≠ 0 ∧ ad = bc } ?

For beskrivelsen af Q/~, tænker jeg på at skrive en mængde af ækv.klasser, så må [(a,b)] og [(2,3)] være elementer i mængden. 

#18

Nej, så skal man jo skrive

[(a,b)] = { (c,d) ∈ Z×Z | d ≠ 0 ∧ ad = bc }

(a,b) er et element i klassen [(a,b)] .

[(a,b)] er mængden af alle de talpar (c,d) fra Q, der er ækvivalente med talparret (a,b) .

Det ser ud til, at du blander tingene lidt sammen.

Hvordan beviser man at (a, b) ækv (c, d) => (c, d) ækv. (a,b) og

(a, b) ækv. (c,d) ∧ (c, d) ækv. (e, f)  => (a, b) ækv. (e, f)