Matematik
Kompleks egenvektor
Need help!!
( 3 -6 5 )
A=( 1 3 -1 )
(1 -4 7 )
a) Vis, at den komplekse vektor v = (i 1 1) er en egenvektor for matricen A , og angiv den tilhørende egenværdi
b) Vis at tallet lambda = 8 er en egenværdi for matricen A , og bestem samtlige tilhørende egenvektorer.
c) Opskriv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet x'(t) = Ax(t).
Svar #1
30. oktober 2013 af peter lind
a) Udregn A*v og vis at resultatet er k*v hvor k er egenværdien
b) Vis at det(A-8*I) = 0 her er I enhedsmatricen. Find den resterende egenværdi af det(A-λ*I) = 0 Løs dernæst ligningerne A*x =λ*x
Svar #2
05. november 2013 af DrJonas (Slettet)
Jeg får ikke at min egenværdi 8 passer for matricen A, ved ikke hvorfor?!?
Svar #3
05. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
#2
Du må så vise dine mellemregninger, hvis du vil vide, hvor du regner forkert.
-5 -6 5
A - 8I = 1 -5 -1
1 -4 -1
Svar #4
05. november 2013 af DrJonas (Slettet)
Jeg har til at starte med bare beregnet det i Maple, og her får jeg at den reele egenværdi bliver -6.944??!!!
Svar #5
05. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
#4
Når man skal vise, at λ = 8 er en egenværdi for matricen A, skal man vise, at
det(A - 8I) = 0 .
Det gøres ved at beregne determinanten af matricen angivet i #3, og det kan beregnes simpelt ved håndkraft
det(A - 8I) = -5·((-5)·(-1)-(-4)·(-1)) -1·((-6)·(-1)-(-4)·5)) + 1·((-6)·(-1)-(-5)·5)
= -5·(5-4) -(6+20) +(6+25)
= -5 -26 +31
= 0
Altså er λ = 8 en egenværdi for matricen A .
Svar #6
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
Forstår ikke hvordan 8 kan være en egenværdi, når man ud fra det karakteristiske polynomium har fundet at den reele egenværdi er -6.944.
Svar #7
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
obs: en lille rettelse til matricen A, elementet i række 3 søjle 3 er -7 og ikke 7
Svar #11
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
i vores opgaver skal vi indsætte vores studienummer og når jeg indsætter disse giver opgaven ikke mening men den matrix som jeg har skrevet ved en fejl giver egenværdi 8, så jeg tænker om de har lavet en fejl i opgaveformulerigen
Svar #12
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
Ok der var lavet en fejl og matricen skal hedde
( 3 -6 5 )
A=( 1 4 -1 )
(1 -4 7 )
Har nu lavet a og b.. Men er gået i stå ved opg c, jeg har svært ved hvordan fremgangsmåden er når man både har en reel og to komplekse egenværdier
Svar #15
06. november 2013 af Andersen11 (Slettet)
#12
Hvis v1, v2, v3 er tre lineært uafhængige egenvektorer med tilhørende egenværdier λ1, λ2, λ3 , har den generelle løsning til differentialligningen
x'(t) = A x(t)
formen
x(t) = c1·eλ1t·v1 + c2·eλ2t·v2 + c3·eλ3t·v3
Svar #17
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
fungerer det sådan når der også er komplekse egenværdier?
Svar #18
06. november 2013 af wut123 (Slettet)
Ja. Den fuldstændige (komplekse) løsning er
x(t) = c1·eλ1t·v1 + c2·eλ2t·v2 + c3·eλ3t·v3, c1,c2,c3∈C
mens den fuldstændige reelle løsning er
x(t) = c1·eλ1t·v1 + c2·Re(eλ2t·v2) + c3·Re(eλ3t·v3), c1,c2,c3∈R
hvor λ2 og λ3 er de komplekse egenværdier.
Svar #19
06. november 2013 af DrJonas (Slettet)
så hvis jeg har fået at egenværdierne er 8, 3+i, 3-i , ville den fuldstændige løsning så være
x = c1(v1)e8t+c2(v2)e(3+i)t+c3(v3)e(3-i)t ??