Vektorer i rummet

Det ses let, at det ikke kan gælde.

Venstresiden (a•b)c er en vektor, der er parallel med vektor c .

Højresiden a(b•c) er en vektor, der er parallel med vektor a . I almindelighed er vektor a og vektor c ikke lineært afhængige.

Mange tak, hvordan kan det vises? Jeg har prøvet mig frem ved at beregne skalarproduktet, men det gav ingen mening, jeg endte med det her:
(a*b)c=a(b*c)⇔

(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)c=a(b₁c₁+b₂c2+b₃c₃)

Er det den rigtige tilgang? Men der står også: Flere regneregler for reelle tal kan overføres til vektorer. 

Skal jeg vise det med tal eller bogstaver?

#2

Jeg har jo vist ved et geometrisk argument i #1 at det ikke kan gælde generelt.

Okay, tak! :) - Det var bare, om der fandtes et argument, hvor man viste det med beregninger.

Hvordan forklarer jeg denne:
a*b=0 ⇒ a=o v b=o

a•b = |a| |b| cos(u), hvor u er vinklen mellem de to vektorer a og b.

Tilsvarende: b•c = |b| |c| cos(v)

(a•b) c = |a| |b| cos(u) c

a (b•c) = |b| |c| cos(v) a

(a•b) c = a (b•c) betyder, at:  |a| |b| cos(u) c = |b| |c| cos(v) a  

⇒   |a| cos(u) c =  |c| cos(v) a  (|b| ≠ 0) 

⇒   cos(u) e_c = cos(v) e_a      (|a| ≠ 0 og |c| ≠ 0). e_c = c/|c| og e_a = a/|a|

⇒   e_a = (cos(u)/cos(v)) e_c

Dette kan kun lade sig gøre, såfremt de to enhedsvektorer er parallelle, hvilket medfører: enten u = v (a og c peger i samme retning) eller v = π - u (a og c peger i modsat retning). Da dette krav om parallellitet mellem a og c langtfra altid er opfyldt er den "associative" lov om vektorers prikprodukt ikke almengyldigt. 

Omvendt:

Hvis a = t c, hvor t ∈ R, gælder: (a•b) c = t (c•b) c = t (b•c) c og a (b•c) = t c (b•c) = t (b•c) c - så ligningen undtagelsesvist er opfyldt.

#4

Den lov gælder ikke for vektorer. Det modbevises af, at skalarproduktet af to egentlige vektorer, der er ortogonale på hinanden, er lig med 0.

( |a| > 0 ∧ |b| > 0 ∧ a ⊥ b ) ⇒ a • b = 0 .