Omskrivning af ellipsens ligning

Når der er et blandet led -0,785xy , betyder det, at ellipsens akser er roteret i forhold til koordinatsystemets x- og y-akser. Det fremgår jo også klart af den vedlagte tegning. 

Men hvad forslår du at jeg gør? Skal jeg på en eller anden måde sørge for at ellipsen står helt 'vandret'?

#2

Det simpleste er vel at aflæse ellipsens centrum og akselængder af den tegnede ellipse.

Jo, men jeg er nødt til at inddrage noget med keglesnit og ellipse(ligninger), og specielt det med at jeg omskriver til den anden form.

Men hvad nu hvis den blandede led ikke var der så? hvordan skulle jeg så omskrive til den anden form?

#5

Hvis det blandede led ikke var der, skulle man blot kvadratkomplettere leddene med x for sig og leddene med y for sig. Ellipsens ligning er

(x - x₀)²/a² + (y - y₀)²/b² = 1 ,

hvor (x₀,y₀) er ellipsens centrum.

Hvordan kommer du frem til den ligning?

Hvad er x0? hvordan kommer jeg frem til a og b?

Synes det til forveksling ligner den ligning jeg skal komme frem til i mit #0 (mit spørgsmål)

#7

Som forklaret i #6 er (x₀,y₀) ellipsens centrum.

Ja, det var dumt. Den havde jeg nok overset.

Men hvad med a og b?

Jeg forstår simpelthen ikke hvordan du omskriver fra min lange form, til din givne form.

benyt det hjælpekoordinatsystem, hvori koefficienten til xy-leddet bliver 0.

              1)        Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0  

en akserotation af {O,i,j} med vinklen α

            bestemt af
                                                      B  
                                   tan(2α) = --------
                                                   A - C      

vil ændre ligning 1)
til den ævkivalente form

              2)        A' x' ² + C' y' ² + D' x' + E' y' + F ' = 0  

hvor
            A ' = A•cos²(α) + B•cos(α)•sin(α) + C•sin²(α)

            C ' = A•sin²(α) - B•sin(α)•cos(α) + C•cos²(α)

            D ' = D•cos(α) + E•sin(α)

            E ' = -D•sin(α) + E•cos(α)

            F ' = F

Ok...det forstod jeg ikke en pind af...

Lad os prøve noget andet. Det er lykkedes mig at dreje samme ellipse, således at xy-leddet er fjernet:

0.352x²+1.273y²-0.102x-0.563y=-0.065

Mathon/Andersen: kan i så vise mig hvordan mellemregningerne for sådan en omskrivning ser ud nu? Der burde ikke være nogen vinkel at forholde sig til :/

#9
            her skal du beskrive et keglesnit

                       K = {P | |PF| = e•|PL| }         hvor F er brændpunktet, e er ekscentriciteten og L er ledelinjen

og gennemregne for    0 < e < 1

til formlen i #6.

#11

Så har du her

0.352x² -0.102x = 0,352(x² - 2·(0,102/(2·0,352))x) = 0,352·((x -(0.102/(2·0,352)))² - (0.102/(2·0.352)²)

                        = (x -(0,102/(2·0,352)))²/1.68552 -0.352·(0.102/(2·0.352)² 

Foretag en tilsvarende omskrivning for y-leddene.

                    Du skal kende og benytte koordinattransformationsformlerne.

Er koordinattransformation anvendt i #13?

#15

Nej, jeg benyttede x-leddene i dit udtryk i #11.

se evt.
 

Parallelforskydes ellipsen yderligere
fås centrumligningen

                                             (x-x_o)²     (y-y_o)²
                                             --------- + --------- = 1
                                                a²            b²