Differentialregning

Anvend 

V_rumfang = π · r² · h

O_{krumme overfladeareal} = 2 · π · r · h

A_{Areal af bund/cirkel} = π · r²

Samlet areal = 2 · π · r · h + π · r2

Benyt at du kender rumfanget (10 m³). Det kan du benytte til at isolere h

Spoerg efter mere vejledning

Mvh Snick

Men hvis jeg ikke kender radius er det jo svært at bruge disse formler. Er der ikke en måde at finde radius og højde? :-)

#2

Da rumfanget skal have en fast værdi, her V = 10m³ , isolerer man h af

 V = π·r²·h = 10 

og indsætter det i udtrykket for overfladearealet O, og så finder man minimum for funktionen O(r).

Jeg ved godt jeg lyder besværlig, men jeg forstår ikke detm med at isolere h og det med at finde minimum for funk. O(r) :-)

Får jeg så bagefter og ved at isolere h af formlen for V:

h = V/π*r² ? :-)

#5

Man finder så

h = 10/(π·r²)

der så indsættes i udtrykket for overfladearealet:

O(r) = 2πr·h + πr² = 20/r + πr² 

Man differentierer nu O(r) og løser så ligningen O '(r) = 0 .

Arrrh - Har jeg så fundet radius ud af det? 

#7

Man finder den eller de værdier af radius, hvor funktionen O(r) har lokalt ekstremum. Man skal så undersøge, om der er tale om minimum eller maksimum.

Nu har jeg prøvet. Ser dette rigtigt ud:
V = π·r2·h = 10 
Derefter isolerer man h af formlen for V:
h = V/π*r²
h = 10/π·r², som så indsættes i udtrykket for overfladearealet, og vi får da overfladearealet som funktion af radius i endefladen:
OA(r) = 2*π*r*h +π*r² = 20)/r+π*r²
Derefter differentierer man: 
OA'(r) = 40/r + π*r, da OA'(r) = 0 dvs. ((40)/(r)) + π*r = 0 
Ved løsning af ligningen OA'(r) = 0 får vi at der kun er en løsning, nemlig: 
r=root(10)/(2*π)),3) = r=1.16754
h=10/π*1.16754² = h=2.33511

#9

Nej, det er ikke rigtigt. Du har ikke differentieret korrekt. Det du skriver i ligningerne hænger heller ikke sammen med udtrykket for løsningen. 

Hvad med nu?:

V = π·r2·h = 10 
Derefter isolerer man h af formlen for V:
h = ((V)/(π*r^(2)))
h = ((10)/(π·r^(2))), som så indsættes i udtrykket for overfladearealet, og vi får da overfladearealet som funktion af radius i endefladen:
OA = 2 *π * r * ((10)/(π * r^(2))) + 2 * π * r^(2) = 2 * 10 * r^(-1) + 2 * π * r^(2)
Her er en funktion der angiver overfladearealet:
OA(r) = 2 * 10 * r^(-1) + 2 * π * r^(2)
Så differentierer man funktionen: 
OA'(r) = -2 * 10 * r^(-2) + 4 * π * r
Ved løsning af ligningen OA'(r) = 0 får vi at der kun er en løsning, nemlig: 
r=root(((10)/(2*π)),3) = r=1.16754
h=((10)/(π*(1.16754)^(2))) = h=2.33511

#11

Nu har du ændret udtrykket for overfladearealet til noget, der ikke er korrekt. Du brugte det korrekte udtryk i #9, du havde bare ikke differentieret det korrekt. Benyt udtrykket i #6.

I min matematikbog står der bare dette bevis som løsning. 
Men selvom jeg bruger den ene eller den anden metode, får jeg vel stadig det samme resultat, da det mere er for at tjekke om der kun er en løsning vha. OA'(r) = 0? :-) 

#13

Når du differentierer forkert, eller laver om på funktionen midt i opgaven, er det ikke længere denne opgave, du løser.

Man kan bruge begge formler. Grunden til at jeg bruger den anden er fordi i din indgår der to forskellige variabler r og h, og da det er svært at klare, har jeg prøvet at komme ned på én variabel. Passer det ikke? :-)

#15

Det er jo ikke rigtigt, hvad du skriver. I #6 har jeg givet udtrykket for O(r) , hvor h ikke indgår

O(r) = 20/r + πr² .

Det var også det udtryk, du benyttede i #9, men du differentierede det forkert og fandet derved ikke den korrekte løsning til O '(r) = 0.

I #11 bruger du et forkert udtryk

O(r) = 2·10/r + 2π·r² .

Du differentierer det korrekt, men da udtrykket er forkert, fører det heller ikke til den korrekte løsning.

Man har

O(r) = 20/r + πr² ,

hvoraf

O '(r) = -20/r² + 2πr ,

og ligningen O '(r) = 0  bliver da til πr³ = 10  med løsningen

r = (π/10)^1/3 . 

Det ses, at O '(r) < 0 for r < (π/10)^1/3 , og O '(r) > 0 for r > (π/10)^1/3 , så O(r) har lokalt minimum for r = (π/10)^1/3 .

Da 

h = 10/(π·r²) , er

πr²·h = 10 ,

og det er da klart, at for den minimale løsning r = (π/10)^1/3 er h = r .