Ligefordeling og fordelingsfunktion

Hvis  I ⊂ R er I en ægte delmængde af R og kan derfor ikke være hele R.

Hvis p(x) er ligefordelingen på intervallet [0,1] , er p(x) en positiv konstant for ethvert x ∈ [0,1] og den er 0 udenfor.

Vil det så sige at min fordelingsfunktion er

            0   ,  x < 0

F(x) = { x   ,  0 ≤ x ≤ 1

            0   ,  x > 1

Men hvordan forklarer jeg antagelsen?

#2

Det følger af, at

            0   ,  x < 0
p(x) = { 1   ,  0 ≤ x ≤ 1
            0   ,  x > 1

Okay, så det p(x) angivet i #3 er min ligefordeling på [0,1], og af den følger det så at p er kontinuert på I, at p(x) > 0 for alle x ∈ I og at p(x) = 0 for alle x ∉ I.

Men hvad så med fordelingsfunktionen F? Hvordan angiver jeg den?

#4

Den har du jo angivet i #2. Sammenhængen giver du jo selv i #0: F '(x) = p(x) .

Det er også rigtig nok (beklager).

Hvordan finder jeg så fraktil funktionen q(α), når jeg nu ved det jeg ved under #0?

#6

Find den inverse funktion til F(x) . Læs forklaringen til opgaven.

Jeg beklager Andersen. Jeg kan ikke se det for mig.

Jeg kan godt se at der i opgaven står at der findes en invers funktion q, men er det så q(α) = F ^-1(α) = x , og hvordan kan jeg bruge denne til at finde de 3 fraktiler (5 %, medianene og 95 %)?

#8

For kendt α skal man løse ligningen F(x) = α , dvs x = α , så q(α) = α .

Man skal løse ligningerne F(x) = 0,05 , F(x) = 0,50 , og F(x) = 0,95 , hvor F(x) = x .

Vil det så sige at

     F(x) = 0,05  ⇔  x = 0,05

     F(x) = 0,50  ⇔  x = 0,50

     F(x) = 0,95  ⇔  x = 0,95

Dermed er 5 % - fraktilen x = 0,5, medianen er x = 0,5 og 95 % - fraktilen er x = 0,95.

Er det "bare" det, der er svaret på den sidste del af spørgsmålet?

5 % fraktilen er x = 0,05 , men ellers er det korrekt.

Funktionen F(x) er her den identiske afbildning, der har sig selv som invers.

Hvis jeg nu skulle finde fraktil funktionen ved at løse ligningen F(x) = α, for en eksponentialfordeling med fordelingsfunktionen

F(x) = { 1 - e^-x hvis x > 0         0 hvis x ≤ 0

hvor parameteren λ = 1, hvordan vil fraktil funktionen q så se ud?

#12

Løs ligningen

F(x) = α ,

dvs.

1 - e^-x = α ,

så

x = q(α) = -ln(1-α) , 0 ≤ α < 1 .

Du skal have mange tak for din tålmodighed og hjælp, Andersen :)

En efterfølgende opgaver lyder:

Lad X være en reel stokastisk variabel hvis fordeling har en tæthed p, der opfylder Antagelse 1. Lad X have fordelingsfunktion F og lad den tilhørende fraktilfunktion være q. Betragt den transformerede stokastiske variabel

Y=a+bX
for a, b ∈ R, b > 0. Find fordelingsfunktionen F  ~ for Y , og vis at

Y har fraktilfunktion
q ~(α)=a+bq(α) foralle α∈(0,1)

Vink: udnyt at F  ~(x) = P (a + b X ≤ x).

Jeg har fået fordelingsfunktionen til

F  ~(x)=F(x)((x-a)/b)

er dette rigtigt?

Hvordan viser man at 

q ~(α)=a+bq(α)