Ligning med en ubekendt

Gang ind i parenteserne så der fremkommer en 4.-gradsligning

1,05³·x⁴ + 1,05²·x³ + 1,05·x² + x = 13000

der vist kun kan løses ved at bruge et CAS-værktøj.

Hvor kommer ligningen fra?

#1
 

Gang ind i parenteserne så der fremkommer en 4.-gradsligning

1,05³·x⁴ + 1,05²·x³ + 1,05·x² + x = 13000

der vist kun kan løses ved at bruge et CAS-værktøj.

Hvor kommer ligningen fra?

Jeg sidder med en opgave med renter. Jeg synes at det gav god mening med denne ligning, da der skal ligges x på kontoen hvert år, fra 1. Januar 2012 til 1 Januar 2015, pr 1. Januar (man starter altså med x). Renten er 5 % heraf 1,05. Han skal til slut have 13000 til 14000. Jeg satte 13000 ind i denne og 14000 i en lignende for at løse opgaven præcis og ikke bare gætte.

Jeg regner med, at der er et eller andet, som er gjort forkert i ligningen? siden du kalder det en 4.-gradsligning.

#2

Du skal benytte renteformlen

K_n = K₀·(1+r)ⁿ

hvor K₀ er startbeløbet, og K_n er indeståendet efter n renteperioder med rentesatsen r.

Dette er måske et dumt spørgsmål meeen....

Ville man ikke "bare" kunne tage den første parentes? 

(x*1.05+x)

x * 1,05 er vel det samme som 1,05x? Og så derfra plusse med x? Så gange 2,05x med 1,05 osv?

OK, jeg havde overset i #3, at der skal indsættes et fast beløb ved starten af hvert år. Så er der tale om en annuitetsopsparing, se evt. http://www.formel.dk/matematik/rentesregning/rentesregning.htm

Efter 1. indbetaling er saldoen x
Efter 2. indbetaling er saldoen x·1,05 + x
Efter 3. indbetaling er saldoen (x·1,05 + x)·1,05 +x
Efter 4. indbetaling er saldoen ((x·1,05 + x)·1,05 +x)·1,05 + x

Udtrykket i #0 er korrekt, og jeg fik det fejlagtigt lavet om til et 4.-gradspolynomium i x, hvilket jeg beklager.

Regner man udtrykket ud korrekt får man

saldo = x·(1 + 1,05 + 1,05² + 1,05³) = x·(1 - 1,05⁴)/(1 - 1,05) = x·(1,05⁴ - 1) / 0,05

Kender man saldoen efter 4. indbetaling, kan man så beregne det beløb, der skal indsættes hver gang.