Vektor, Hjælp

For
             kuglen:        (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
 

har tangentplanen α i punktet (x_o,y_o,z_o)
ligningen:
                               (x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) + (z_o-c)(z-c) = r²

Hvad er x₀ og x, og y₀ og y.osv? ( i denne opgave)

hvoraf

For
             kuglen:        (x-1)² + (y-2)² + (z-1)² = 7²
 

har tangentplanen α i punktet N(1,2,8)
ligningen:
                               (1-1)(x-1) + (2-2)(y-2) + (8-1)(z-1) = 49

                               7(z-1) = 49

                               z - 1 = 7

                               z = 8

Linjen l gennem C(1,2,1) og P(3,5,7)
har retningsvektor
                               r = CP = OP - OC =  [3,5,7] - [1,2,1] = [2,3,6]

Anvendes C(1,2,1) som fikspunkt,
kan et vilkårligt punkt Q(x,y,z) på l
udtrykkes
                              OQ = OC + t·CP

                              [x,y,z] = [1,2,1] + t·[2,3,6]

                              x = 1 + 2t
                              y = 2 + 3t
                              z = 1 + 6t

l's skæringspunkt S med α
kræver
                              1 + 6t = z = 8
                               6t = 7
                               t = (7/6)
hvoraf for S
                              x = 1 + 2•(7/6) = ¹⁰/₃
                              y = 2 + 3•(7/6) = ¹¹/₂
                              z = 8

        
                              S = (¹⁰/₃ , ¹¹/₂ , 8)

En alternativ fremgangsmåde er følgende.

Kuglens centrum aflæses af ligningen til C(1,2,1), og dens radius aflæses til r = 7 . Kald det søgte skæringspunkt for S. Da S ligger på linien gennem C og P, ligger de fire punkter C, N, P og S i samme plan. Da C og S ligger i tangentplanen til kuglen i punktet N, vil trekant CNS være en retvinklet trekant.
Vinklen v = <NCS er vinklen mellem de to vektorer CN og CP , og vi har derfor

cos(v) = (CN•CP) / (|CN||CP|) = [0,0,7]•[2,3,6] / (7·7) = 7·6 / (7·7) = 6/7 .

Vi har derfor

|CS| = |CN| / cos(v) = 7 / (6/7) = 49/6

og dermed

CS = |CS| · CP/|CP| = (49/6) · (1/7) · [2,3,6] = 7·[(1/3) , (1/2) , 1] .

Endelig fås så koordinaterne til skæringspunktet S ved

OS = OC + CS = [1,2,1] + 7·[(1/3) , (1/2) , 1] = [(10/3) , (11/2) , 8]