Matematik

Greens sætning

16. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Hejsa alle sammen!

Jeg har fået en opgave som jeg ikke rigtig ved hvordan jeg skal løse, så jeg vil blive meget glad hvis der er nogen som vil hjælpe mig:

Lad D være et område i xy-planen der afgrænses af en enkeltsammenhængende kurve C. Brug Greens sætning til at bevise, at det geometriske tyngdepunkt (x*,y*) for D er

x* = 1/(2A)*S_C[x^2]dy
y* = -1/(2A)*S_C[y^2]dx

Her er A arealet af D og S_C er et orienteret kurveintegral langs C.

Svar #1
16. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg opdaterer lige tråden.

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. november 2005 af fixer (Slettet)

Formelt er barycentret i planen defineret som skæringspunktet mellem alle hyperplaner (linier), der deler området D i to områder med samme moment om hyperplanen (linien).

En lidt mere håndgribelig anskuelse kan fås ved at tænke sig D homogent belagt med masse med massetæthenden 1. Da er massemidtpunktet lig barycentret, og dets koordinater (xG,yG) er bestemt ved

S[(x,y)]dxdy = a(D)*(xG,yG) (*)
D

hvor a(D) er arealet af punktmængden D.

Greens sætning i planen udsiger at hvis D er et aflsuttet, begrænset, måleligt område i planen, således at randen C er en stykkevis C¹ Jordankurve, og

w = P(x,y)dx+Q(x,y)dy

er en C¹-differentialform i mængden D, a gælder

S[Pdx+Qdy] =
C

S[-dP/dy+dQ/dx]dxdy
D

såfremt C gennemløbes i planens positive omløbsretning.

Betragtes nu

S[x]dxdy
D

kan Green's sætning bringes i anvendelse
under de givne forudsætninger. Man finder

S[x]dxdy =
D

S[½x²]dy
C

og tilsvarende at

S[y]dxdy =
D

S[-½y²]dx
C

hvorved det søgte fremkommer ved indsættelse i (*).

Svar #3
16. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg prøver lige at se på det, og så skal du i hvert fald have rigtig mange tak for hjælpen! Hvis jeg ikke kan følge med i det du skriver, kan det godt være at jeg spørger igen ...

Svar #4
16. november 2005 af Jeg_er_mig (Slettet)

Jeg er ret sikker på at jeg forstår det nu. Det er jo slet ikke så galt når man lige kommer i gang - mit problem var at jeg ikke havde tænkt over definitionen

S[(x,y)]dxdy = A*(xG,yG)
D

hvor A er arealet af punktmængden D, for når man først har den er det jo ikke de store problemer :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. november 2005 af Export (Slettet)

Undskyld jeg blander mig i tråden, men hvis D nu ikke er _homogent_ belagt med maase med massetæthed k [k = 1 er så valgt i #3], hvordan beviser man det så, for så er massemidtpunktet vel ikke lig med det geometriske tyngdepunkt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. november 2005 af Export (Slettet)

Jeg retter lige mig selv:

"maase med massetæthed k [k = 1 er så valgt i #3]"

skal være

"masse med massetætheden k [i #3 har man så valgt k = 1]".

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. november 2005 af fixer (Slettet)

Hvis D ikke er homogent belagt med masse gælder korrekt at der ikke er sammenfald mellem massemidtpunktet og det geometriske tyngdepunkt. Derfor er der ikke noget at bevise.

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. november 2005 af Export (Slettet)

Hvorfor er der så ikke noget at bevise? Det kan jeg ikke helt forstå, så gider du evenetuelt at uddybe det for mig?

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. november 2005 af fixer (Slettet)

Vi taler formodentligt forbi hinanden. Jeg opfattede #5 således, at du ville vise at massemidtpunktet er sammenfaldende med det geometriske center selv i det tilfælde, hvor D ikke er homogent belagt med masse. Det er naturligvis i almindelighed ikke tilfældet.

Som nævnt er #2 er barycenteret defineret som det punkt der ville være tyngdepunkt, dersom D var homogent belagt med masse. Det giver derfor ikke megen mening i forhold til denne definition at betragte tilfælde hvor dette ikke er tilfældet. Derfor misforstod jeg.

Skriv et svar til: Greens sætning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.