Analytisk geometri

Halli halløj~

Du har to ligninger med to ubekendte, så man går bare rask til værks, og du har altså:

3x+4y=25 <=> 4y=25-3x <=> y=(25-3x)/4

Hvilket vi så indsætter i nr. 2 formel:

x²+((25-3x)/4)²=25 <=> 25/16x²-75/8x+225/16=0

Så er det bare, at benytte sig af vores kendte formel om andengradspolynomier, hvilket giver x=3. (tjek selv efter ;) )

Du har altså ved indsættelse, at

3*3+4y=25 <=> 4y=16 <=> y=4

Altså skærer linjen og cirklen kun i punktet (3,4).

Du er en engel :-)
Fik lige en aha følelse..

Tusind tak for din tid

En lidt alternativ fremgangsmåde:

Cirklen med ligningen x² + y² = 25 har centrrum i O(0;0) og radius r = 5 .

Afstanden d fra cirklens centrum (0;0) til linien med ligningen 3x + 4y = 25 er

d = |3·0 + 4·0 - 25| / √(3²+4²) = 5 = r .

Linien er altså en tangent til cirklen. Vektoren OP fra cirklens centrum til røringspunktet P er en normalvektor til linien. Linien har vektoren n = [3 ; 4] som en normalvektor. Man ser også, at |n| = r . En stedvektor til røringspunktet er derfor vektoren

OP = ±r·n/|n| = ±n .

Røringspunktet er altså enten (3;4) eller (-3;-4) . Det ses, at af de to punkter er det kun punktet P(3;4) , der ligger på linien, og dette er derfor koordinaterne til røringspunktet mellem linien og cirklen.

# 1

Som opgaven er stillet i # 0, forventes det, formoder jeg, at man skal kunne indse, at ved at bringe linjens ligning på normalform     |3x + 4y - 25| / √ (3² + 4²)  vil man straks indse, at afstanden fra linjen til (0 ; 0) er 5 ,
hvilket er cirklens radius og med centrum (0 ; 0) . Det turde da være evident, at linjen er tangent til cirklen og kan derfor kun skære, dvs. tangere, i netop ét punkt.
# 1 er ikke forkert, og har da også en rigtig løsning.