Anden ordens differentialligning

Betingelserne y(0) = 2 og y'(0) = 6 bruges så til at bestemme konstanterne a og b.

Den ene ligning er

y(0) = a + b = 2

Betingelsen y'0) = 6 giver en anden ligning.

Det forstår jeg ikke helt..

Skal jeg så differentiere mit udtryk y(x) og indsætte 0 og være det lig med 6?

#2

Ja. For at beregne y'(0) skal man differentiere løsningen.

Okay, så får jeg: 4*e^4x-3*e^-3x=6 ..

Jeg forstår ikke hvordan jeg ud fra de to ligninger skal komme frem til løsningen (y(x)=2*e^3x)..

#4

Ligningen for y'(0) = 6 er så

4a - 3b = 6 , sammen med ligningen for y(0) = 2:

a + b = 2

Løs nu dette ligningssystem i a og b.

Ligningen er ikke løst korrekt i #0. Se i stedet #5.

#0

Rødderne i det karakteristiske polynomium er -4 og 3, ikke 4 og -3.

Den generelle løsning er

y = a·e^-4x + b·e^3x

og startbetingelserne giver da ligningssystemet

a + b = 2

-4a + 3b = 6 ,

hvoraf man ser

a = 0 og b = 2

Det er rigtigt, tak for hjælpen!

Et sidste spørgsmål; man får 6 muligheder hvor den jeg skrev som facit er den rigtige. En anden mulighed, der angiveligt er forkert, siger at y(x)=2*e^-4x

Jeg tænker bare, jeg kan godt se i den generelle løsning er b foran det andet e, men jeg kunne vel lige så godt have skrevet det omvendt? :)

#7

Ja, det er da underordnet, om man kalder de to konstanter for a og b, eller for b og a, så længe man gør det konsistent. Det ændrer jo ikke på resultatet.