Kugle og tangentplan

For at kunne være centrum for en kugle med radius r = 6, skal punktet have afstanden 6 fra tangentplanen. Opstil en parameterfremstilling for linien gennem A og B. Indsæt et punkt på denne linie givet ved parameteren t i punkt-plan-afstandsformlen for den givne plan. Bestem de værdier af t, for hvilke afstanden er lig med 6.

Ok, hvis jeg har forstået det rigtigt.

tangentplanet: x+2y+2z-25=0 --> normalvektor=(1, 2, 2) som bliver min r-vektor i parameterfremstillingen.

Linje AB= (31-31, 22-16, 24-17)=(10, 6, 7)

(x,y,z)=(10, 6, 7) + t(1, 2, 2)

x=10 + t

y=6 + 2t

z=7+ 2t

10+t+2(6+2t)+2(7+2t)-25=0

10+t+12+4t+14+4t-25=0

9t+11=0

t=11/9 

som jeg så kan indsætte i parameterfremstillingen og udregne min (x,y,z)???

#2

Parameterfremstillingen for linien gennem A og B er ikke korrekt. En retningsvektor er vektoren AB , så en parameterfremstilling er

(x,y,z) = (21, 16, 7) + t·AB  = (21, 16, 7) + t·[10, 6, 7]

Det indsættes så i plan-punkt-afstandsformlen med den opgivne plan x + 2y + 2z - 25 = 0.

Ja, er desværre rimelig god til at blande n-vektor og r-vektor sammen...

Efter jeg har brugt den korrekte parameterfremstilling og indsat det i planets ligning kommer jeg frem til at       t= -31/18

x= 21+10*(-31/18) = 34/9

y= 16+6*(-31/18) = 17/3

z= 17+7*(-31/18) = 89/18

Er lidt i tvivl om hvilken formel du mener, men brugte:                                                                           dist(P, alpha)= ( 34/9 + (2*17)/3 + (2*89)/18 )/kvadratrod(1^2+2^2+2^2)=0 er det for at kontrollere at den tangere eller??

#4

En parameterfremstilling for linien er

(x,y,z) = (1, 4, 3) + t·[10, 6, 7]

der så indsættes i punkt-plan-afstandsformlen

|x + 2y + 2z -25| / √(1² + 2² + 2²) = 6 ,

dvs

|1+10t + 2(4+6t) + 2(3+7t) -25|/9 = 6 .

Løs nu denne ligning i t.

Ok, nu føler jeg virkelig ikke at jeg forstå noget... Hvor kommer de (1, 4, 3) fra?

Når jeg løser overstående ligning får jeg t = 39/36 = 13/12, men burde det ikke være √(9) hvor det i så fald bliver t = 1/12? 

#6

Jo, du har ret, det skal være

|1+10t + 2(4+6t) + 2(3+7t) -25|/3 = 6 .

Punktet (1, 4, 3) kommer fra OA - 2·AB . Det var for at få simplere tal at regne med. Man finder så

|36t -10| = 18 ,

der har to forskellige løsnnger.

Ja havde glemt de -25 ?? :)

Nu får jeg t = 7/9 og t = -2/9 der så skal skal indsættes i parameterfremstillingen, hvor jeg så får 2 forskellige koordinatsæt som er mit færdige resultat.

#8

Ja, netop. Husk at indsætte i den parameterfremstilling, der blev benyttet til løsning af ligningen.

Tusind tak for hjælpen, havde aldrig fået det løst uden din hjælp.