Matematik
Eksamensopgave
På figuren ses en linje l, der har ligningen y = 4 - x
Endvidere ses en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel c er ret. Det oplyses, at C ligger på l, og at AC er parallel med førsteaksen.
Gør rede for, at arealet T af trekant ABC udtrykt ved x er givet ved T(x) = ((1)/(2))x(4-x)
Og bestem x, så arealet bliver størst muligt idet 0 < x < 4
Er der nogen der kan fortælle mig hvorfor, at A kan udtrykkes ved T(x) ?
Det er opgave 6 i vedhæftede opgaveark.
Svar #1
06. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Der dannes en retvinklet trekant ABC, hvis kateter har længderne x og 4 - x . Beregn nu denne trekants areal.
Svar #2
06. februar 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)
Så vi siger kateterne ganget sammen gange 1/2 for at finde Arealet? Altså Så vi får 1/2*x(4-x) ?
Svar #3
06. februar 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)
Forresten er det så matematisk korrekt at skrive det her?
2 - x = 0 ⇔ x = 2 ?
Svar #4
06. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Ja. Du bør kende formlen for arealet af en trekant:
T = (1/2)·g·h
Svar #6
06. februar 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)
# 4
Jep, det gør jeg også. Det er bare lidt sværere når man skal se det som et udtryk.
Når jeg skal finde x så arealet bliver størst muligt er jeg kommet frem til, at jeg skal løse T'(x) = 0 og jeg er kommet frem til at x = 2.
Jeg går ud fra, at jeg skal lave en monotonianalyse nu, men jeg ved ikke hvordan jeg finder det x der gør, at arealet bliver størst muligt?
Svar #7
06. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det gør man netop ved at løse ligningen T '(x) = 0 og undersøge fortegnet for T '(x) på hver side af nulpunktet.
Man kan alternativt benytte, at T(x) er et 2.-gradspolynomium, hvis graf er en parabel, der vender grenene nedad. Det har derfor maksimum i parabelens toppunkt. Toppunktets x-koordinat er præcist midt mellem polynomiets to rødder.
Svar #8
06. februar 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)
Jamen vil det sige, at fordi x = 1 er T'(x) voksende og x = 3 er T'(x) aftagende så har den størst areal for x = 1?
Svar #9
06. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Man har T '(x) = 2 - x . Ligningen T '(x) = 0 har den ene løsning x = 2. Da T '(1) = 1 > 0 , og da T '(3) = -1 < 0 , ses det, at T '(x) har fortegnsvariationen + 0 - , hvorfor T(x) er strengt voksende for x < 2 , og strengt aftagende for x > 2 , hvorfor T(x) har maksimum for x = 2 .
Svar #10
06. februar 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)
Tak for hjælpen. Nu forstår jeg det bedre :)
Svar #11
10. april 2015 af hejtykke2 (Slettet)
Skriv et svar til: Eksamensopgave
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.