Matematik

Alle løsninger til en differentialligning.

10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet) - Niveau: A-niveau

Emnet er differentialligninger og jeg er ikke sikker på jeg forstår opgaven rigtigt, og/eller hvordan man skulle løse den. Opgaven lyder som følgende:

For et legeme i frit fald gælder differentialligningen: v'(t)=-g

Her betegner v(t) legemets hastighed, regnet positivt opad, og g=9,8 m/s² er tyngdeaccelerationen. Bestem alle løsninger til differentialligningen.

På forhånd tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Løs differentialligningen ved at bestemme samtlige stamfunktioner til den konstante funktion -g .

Svar #2
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Jeg skal altså integrere diff.ligningen?
Mange tak for dit svar så hurtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja. Det er jo en meget simpel differentialligning, der kun indeholder den afledede funktion. Man skal betsemme alle de funktioner, hvis differentialkvotient er konstanten -g .

Svar #4
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Mange tak det skal jeg prøve.

Svar #5
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Men forstår stadig ikke helt. Efter jeg har integreret hvad præcist er det så jeg skal gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man skal bestemme samtlige løsninger til den givne differentialligning. Da differentialligningen kun indeholder den afledede funktion, er samtlige løsninger til differentialligninger identisk med samtlige stamfunktioner til differentiallignignens højreside.

Svar #7
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Men man får jo kun en stamfunktion af at integrere den? Og højresiden er et tal.
Tak for de hurtige svar!

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Højresiden er en konstant funktion. Bestem samtlige stamfunktioner til den.

v '(t) = -g ,

v(t) = ∫ (-g) dt = ...

Svar #9
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Det er vel -9,82x?

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej. For det første benyttes t som variabel. For det andet skal man bestemme samtlige stamfunktioner, ikke blot en af dem.

Svar #11
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Hvordan finder jeg samtlige når det eneste jeg har at arbejde med er en konstant? Skal jeg gætte mig frem ved at variere t?

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Nej. Du bør være klar over, at hvis man kender en stamfunktion F(x) til en given funktion f(x), finder man samtlige stamfunktioner til f(x) ved at lægge en arbitrær konstant k til F(x) . Altså er samtlige stamfunktioner til f(x) da funktionerne

∫ f(x) dx = F(x) + k

Svar #13
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Problemet er, at vi ikke engang kender funktionen. Hvordan skal den så integreres?

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Du kender da funktionen. Den er jo konstanten -g . En stamfunktion er den lineære funktion -gt . Find nu samtlige stamfunktioner.

Svar #15
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Jeg kan ikke lide at være til besvær, så hvis jeg skal forstå det, må du forklare det til mig som om jeg var 2 år gammel. Du skrev før at samtlige stamfunktioner er F(x)+k. Når jeg skal integrere -9.82 får jeg 9.82x og ingen k så hvad gør jeg? Husk: forklar som var jeg 2 år gammel. Mange tak for svarene

Brugbart svar (1)

Svar #16
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#15

Det må da stå grelt til for det danske undervisningssystem, hvis man efter næsten 3 år i en gymnasial uddannelse med Matematik på A-niveau skal behandles, som om man kun var 2 år gammel?

9,82x er ikke en stamfunktion til -9,82.

Prøv at læse de tidligere svar. Læs svaret i #14 og læs så svaret i #12 (tænk på, at vi her kalder den uafhængige variable for t, ikke for x, som den blev kaldt i #12).

Funktionen -gt er en stamfunktion til funktionen -g . Samtlige stamfunktioner til funktionen -g er da funktionerne af formen

v(t) = -gt + k ,

hvor k er en arbitrær konstant.

Svar #17
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Det sagde min lærer at vi skulle gøre for at få folk til at forklare os noget på den absolut nemmeste måde hvis vi ikke forstod hvad der blev sagt og indtil nu har det virket ;) og nej, jeg har bare aldrig brugt integralregning på den her måde før. Kun til at beregne areal under grafer og voluminet af omdrejningslegemer om x- og y-aksen.

Altså: vi har en differentialligning som hedder v'(t)=-g. Konstanten hedder 9.82 så vi får: v'(t)=-9.82. Dette skal integreres. Og her bliver jeg forvirret for mener ikke umiddelbart jeg har integreret en differeret funktion før. Kunne godt komme med et bud, men ville højst sandsynligt være forkert..

Brugbart svar (0)

Svar #18
10. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

#17

Du må have lært den grundlæggende sætning inden for differential- og integralregning:

Funktionen F(t) er en stamfunktion til funktionen f(t) ⇔ F '(t) = f(t)

Svar #19
10. februar 2014 af Victorfigu (Slettet)

Jeg har lige læst alle svarene igennem og har endelig fattet det. Tak for tolerancen og din hjælp det var fantastisk!

Skriv et svar til: Alle løsninger til en differentialligning.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.