Matematik

Differentialregning, hjælp

25. februar 2014 af xxx007xxx (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg håber på lidt hjælp til denne opgave.

Jeg har forskriften for N som funktion af t, når det antages at antal af individer til tiden t=0 er 200000, den er givet ved

N (t) = 1.000.000 / 1 + 4 * e ^ ( - 1/50 * t )

Jeg skal nu bestemme antallet af individer, når væksthastigheden er størst.

Egentligt ville jeg sætte N'(t)=0 men det fungerer ikke, hvad skal jeg i stedet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. februar 2014 af 012343210

Væksten er når N’(t) er størst så du skal bestemt monotoniforhold for N’(t) ved at bestemme N’’(t)=0 og bestemme maks/min…

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis N(t) er løsning til en differentialligning som for eksempel den logistiske ligning, kan det være en fordel at benytte differentialligningen, for eksempel

N '(t) = a·N(t)·(M - N(t))

idet man så har

N ''(t) = a·N'(t)·(M - N(t)) - a·N(t)·N'(t) = a·N'(t)·(M - 2N(t)) = a²·N(t)·(M - N(t))·(M - 2N(t))

og det er nu let at løse ligningen N ''(t) = 0 .

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. februar 2014 af mathon

hvoraf
da N(t) > 0 og N(t) < M

N''(t) ⇔ M - 2N(t) = 0

$N(t)=\frac{M}{1+Ce^{-aMt}}=\frac{M}{2}$

$1+Ce^{-aMt} = 2$

$e^{-aMt} = \frac{1}{C}$

$e^{aMt} = C$

$aMt= ln \left (C \right )$

$t= \frac{ln \left (C \right )}{aM}$

som med
$C = 4$ og $aM = 0,02$

giver
$t= \frac{ln \left (4 \right )}{0,02} = 69,3$

væksthastigheden er størst for

                                       $t = 69,3$

Skriv et svar til: Differentialregning, hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.